線形分離

数学では、kの何らかの体拡大内の体k上の代数 A、B は、次の同値な条件が満たされる場合、 k上で線型的に素であるという。 ${\displaystyle \オメガ}$

• (i)によって誘導される写像は単射である。${\displaystyle A\otimes _{k}B\to AB}$${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$
• (ii) Aの任意のk基底はBに対して線型独立である。
• (iii) A、Bのk基数の場合、積はkに対して線形独立です。${\displaystyle u_{i},v_{j}}$${\displaystyle u_{i}v_{j}}$

のすべての部分代数は定義域 なので、 (i) は定義域 (特に被約) であることを意味することに注意してください。逆に、 AとBが体で、AまたはB のいずれかがkの代数拡大であり、が定義域である場合、それは体であり、AとBは線型的に互いに素です。ただし、 は定義域であるがAとBは線型的に互いに素でない例もあります。たとえば、k上の有理関数の体であるA = B = k ( t )です。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle A\otimes _{k}B}$${\displaystyle A\otimes _{k}B}$${\displaystyle A\otimes _{k}B}$

また、次も成り立ちます: A、B がk 上で線型的に互いに素であるための必要十分条件は、によって生成されたの部分体がそれぞれk上で線型的に互いに素である場合です。(体のテンソル積を参照) ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle A,B}$

A、B がk上で線型的に互いに素であるとします。、が部分代数である場合、 およびはk上で線型的に互いに素です。逆に、代数A、Bの任意の有限生成部分代数が線型的に互いに素である場合、 A、Bは線型的に互いに素です (条件には有限の要素集合のみが関係するため)。 ${\displaystyle A'\subset A}$${\displaystyle B'\subset B}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle B'}$

• テンソル積

• PM Cohn (2003). 基礎代数^{[ページが必要]}