ラジカル拡張

数学、より具体的には体論において、体Kの根基拡大は、元のn乗根の列を付加することによって得られるKの拡大です。

単純な根基拡張は、 Kの元bに対して を満たす単一の元によって生成される単純な拡張 F / Kです。特性pでは、アルティン・シュライアー多項式の根による拡張も単純な根基拡張であるとみなします。根基級数は、各拡張が単純な根基拡張で ある塔です。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha^{n}=b}$ ${\displaystyle K=F_{0} <F_{1} <\cdots <F_{k}}$${\displaystyle F_{i}/F_{i-1}}$

1. E がFの根号拡張であり、F がKの根号拡張である場合、E はKの根号拡張です。
2. EとF がKの拡大体CにおけるKの根基拡大である場合、合成体EF ( EとF の両方を含むCの最小の部分体) はKの根基拡大です。
3. E がFの根号拡張であり、E  >  K  >  Fである場合、E はKの根号拡張です 。

根号拡張は、根号における多項式方程式を解くときに自然に発生します。実際、根号における解は、根号級数の要素としての解の表現です。体K上の多項式f は、 Kの根号拡張に含まれるK上のfの分解体が存在する場合、根号によって解けると言われます 。

アーベル・ルフィニの定理は、一般に、5 次以上の方程式に対して、根号によるそのような解は存在しないことを述べています。エヴァリスト・ガロアは、方程式が根号で解けるのは、そのガロア群が解ける場合のみであることを示しました。この証明は、ガロア理論の基本定理と次の定理 に基づいています。

K をn個の異なる1 のn乗根を含む体とします。Kのn次拡大は、ガロア群が n 位の巡回群であるガロア拡大である場合に限り、Kの元のn乗根によって生成される根号拡大となります。

証明はラグランジュの分解と関連している。を原始的なn乗根( Kに属する)とする。拡大が を最小多項式として生成する場合、写像は拡大のK 自己同型を誘導し、ガロア群を生成する。これは「場合にのみ」の含意を示す。逆に、 がガロア群を生成するK自己同型であり、 が拡大の生成元である場合、 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x^{n}-a}$${\displaystyle \alpha \mapsto \omega \alpha }$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).}$

関係式は、の共役の積（つまり、 K自己同型によるの像）がKに属し、 のn乗根の積によるの積に等しいことを意味します。 単位のn乗根の積は であるため、 を意味し、したがって、この拡張は根基拡張です。 ${\displaystyle \phi (\alpha )=\omega \alpha }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha^{n}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \alpha ^{n}\in K,}$

この定理から、ガロア拡大が根号拡大に拡張できるのは、そのガロア群が解ける場合のみであることが分かります（ただし、ガロア群が解ける非根号ガロア拡大もあります。たとえば、）。これは、現代の用語で言えば、ガロアによって提供された根号による解可能性の基準です。証明では、次数nの単純な根号拡大のガロア閉包は、その根号拡大を原始的なn乗根によって拡張したものであること、およびn乗根のガロア群は巡回的であるという事実を使用します。 ${\textstyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))/\mathbb {Q} }$

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• ローマン、スティーブン（2006）。場の理論。数学大学院テキスト。第158巻（第2版）。ニューヨーク、NY：Springer - Verlag。ISBN 0-387-27677-7.ZBL1172.12001  。​