幾何学的に規則的なリング

代数幾何学において、幾何学的に正則な環は、基礎体の任意の有限拡大後も正則環のままである体上のネーター環である。幾何学的に正則なスキームも同様に定義される。古い用語では、正則な局所環を持つ点は単純点と呼ばれ、幾何学的に正則な局所環を持つ点は絶対単純点と呼ばれていた。標数 0 の体、または代数的に閉じている体、またはより一般的には完全である体上では、幾何学的に正則な環は正則環と同じである。幾何学的正則性は、クロード・シュヴァレーとアンドレ・ヴェイユがオスカー・ザリスキ (1947) に、非完全体上では代数多様体の単純点に対​​するヤコビ基準は局所環が正則であるという条件と同値ではないと指摘したことに由来 する 。

体kを含むネーター局所環がk上で幾何学的に正則となるのは、それがk上で 形式的に滑らかとなる場合のみです。

ザリスキ（1947）は、正則だが幾何学的には正則ではない局所環の次の2つの例を挙げた。

1. k が特性p  > 0の体であり、 a がkのp乗ではない元であるとします。この場合、曲線x ^p  +  y ^p  =  aのすべての点は正則です。ただし、体k [ a ^{1/ p} ] 上では、曲線のすべての点は特異です。したがって、この曲線の点は正則ですが、幾何学的には正則ではありません。
2. 前の例では、曲線を定義する方程式は、基本体の有限の拡張に対して既約になります。これは、現象の真の原因ではありません。Chevalley は、曲線x ^p  +  y ²  =  a (前の例の表記法を使用) は絶対的に既約ではないが、それでも規則的だが幾何学的には規則的ではない点があることを Zariski に指摘しました。

• 定期的スキーム

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1965)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、第 2 部」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２４．土井：10.1007/bf02684322。MR  0199181。
• ザリスキ、オスカー(1947)、「抽象代数多様体の単純点の概念」、アメリカ数学会誌、62 (1): 1–52、doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1、JSTOR  1990628、MR  0021694