ヘンゼルリング

数学において、ヘンゼル環（またはヘンゼル環）とは、 ヘンゼルの補題が成り立つ局所環のことである。ヘンゼル環は、東谷（1951）によって導入され、クルト・ヘンゼルにちなんで名付けられた。東谷は当初、ヘンゼル環が非可換であることを認めていたが、現在ではほとんどの著者が可換であるように制限している。

ヘンゼル環に関する標準的な参考文献としては、 （Nagata 1975 、第VII章）、（Raynaud 1970 ）、（Grothendieck 1967 、第18章）などがある。

本稿では環は可換であると仮定するが、非可換ヘンゼル環の理論も存在する。

• 極大イデアルmを持つ局所環Rは、ヘンゼルの補題が成り立つ場合、ヘンゼル環と呼ばれます。これは、PがR [ x ]の単多項式である場合、 ( R / m )[ x ]におけるその像Pの互いに素な単多項式の積への任意の因数分解は、 R [ x ]の因数分解に持ち上げることができることを意味します。
• 局所環がヘンゼル環であるのは、すべての有限環拡大が局所環の積である場合に限る。
• ヘンゼル局所環は、その剰余体が分離的に閉じている場合、厳密にヘンゼル的であると呼ばれる。
• 用語の誤用により、${\displaystyle K}$評価付き${\displaystyle v}$評価環がヘンゼル環である場合、ヘンゼル環であると言われる。これは、次の場合に限る。${\displaystyle v}$すべての有限拡張に一意に拡張される${\displaystyle K}$（各有限分離拡張に対して）${\displaystyle K}$それぞれ、${\displaystyle K^{alg}}$それぞれ、${\displaystyle K^{sep}}$)
• 有限個のヘンゼル局所環の直積である環をヘンゼル環と呼ぶ。

ヘンゼル環は、ニスネヴィッチ位相に関して、次の意味で局所環である。${\displaystyle R}$これはヘンゼル的な局所環であり、${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ニスネヴィッチのカバー${\displaystyle X=Spec(R)}$すると、${\displaystyle U_{i}\to X}$これは同型写像である。これは、任意のザリスキー開被覆に対して、という事実と比較されるべきである。${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$スペクトルの${\displaystyle X=Spec(R)}$ローカルリングの${\displaystyle R}$、 の1つ${\displaystyle U_{i}\to X}$これは同型写像である。実際、この性質はヘンゼル環、あるいは局所環の特徴である。

同様に、厳密なヘンゼル環は、エタール位相における幾何学的点の局所環である。

任意の局所環Aに対して、 Aによって生成される普遍ヘンゼル環Bが存在し、これはNagata (1953)によって導入されたAのヘンゼル化と呼ばれ、 Aからヘンゼル環への任意の局所準同型は、 Bに一意に拡張できます。A のヘンゼル化は、一意同型を除いて一意です。A のヘンゼル化は、 Aの完備化の代数的代替です。A のヘンゼル化は、Aと同じ完備化と剰余体を持ち、 A上の平坦加群です。A がネーター環、既約環、正規環、正則環、または優秀環である場合、そのヘンゼル化も同様です。たとえば、点 (0,0,...) に局所化された多項式環k [ x , y ,...]のヘンゼル化は、代数形式冪級数(代数方程式を満たす形式冪級数)の環です。これは、完備化の「代数的」部分と考えることができます。

同様に、 Aによって生成される厳密ヘンゼル環が存在し、これはAの厳密ヘンゼル化と呼ばれます。厳密ヘンゼル化は完全な普遍性を持つわけではありません。一意性はありますが、一意でない同型を除いてのみです。より正確には、 Aの剰余体の分離可能な代数的閉包の選択に依存し、この分離可能な代数的閉包の自己同型は、対応する厳密ヘンゼル化の自己同型に対応します。例えば、p進数の体の厳密ヘンゼル化は、 pと素な位数のすべての 1 の根によって生成される最大非分岐拡大によって与えられます。非自明な自己同型を持つため、「普遍性」はありません。

• すべての体はヘンゼル局所環である。（ただし、評価を持つすべての体が、上記の第4の定義の意味での「ヘンゼル的」であるとは限らない。）
• p進整数環や体上の形式的冪級数環のような完全ハウスドルフ局所環はヘンゼル環である。
• 実数または複素数上の収束するべき級数の環はヘンゼル環である。
• 体上の代数的冪級数の環はヘンゼル環である。
• ヘンゼル環の上で整な局所環はヘンゼル環である。
• 局所環のヘンゼル化は、ヘンゼル局所環である。
• ヘンゼル環のすべての商環はヘンゼル環である。
• 環Aがヘンゼル環であるのは、関連する縮約環A _redがヘンゼル環である場合に限る（これは、 Aを冪零元イデアルで割った商環である）。
• Aが素イデアルを1つだけ持つ場合、Aは_体であるため、Aはヘンゼル体である。

• 東谷五郎(1951) 「最大中心代数について」、名古屋数学雑誌、2 : 119–150、doi : 10.1017/s0027763000010114、ISSN 0027-7630、MR 0040287  
• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「ヘンゼル環」、数学百科事典、EMS Press
• Grothendieck, Alexandre (1967)、「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné)  : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième party」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、32 : 5– 361、doi : 10.1007/BF02732123、オリジナルから2016-03-03 にアーカイブされ、2007-12-09 に取得
• クルケ、H.フィスター、G. Roczen, M. (1975)、Henselsche Ringe und algebraische Geometrie、Mathematische Monographien、vol.  II、ベルリン: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften、MR 0491694 
• 永田正義（1953）「ヘンゼル環の理論について」名古屋数学雑誌、5：45–57、doi：10.1017/s0027763000015439、ISSN 0027-7630、MR 0051821  
• 永田正義（1954）「ヘンゼル環の理論について II」名古屋数学雑誌、7 ： 1–19 、 doi ： 10.1017 /s002776300001802x、ISSN 0027-7630、MR 0067865  
• 永田正義（1959）「ヘンゼル環の理論について III」京都大学理学部紀要 Aシリーズ：数学、32 ： 93–101 、 doi ： 10.1215 /kjm/1250776700、MR 0109835 
• 永田正義 (1975) [1962]、「局所環」、Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics、第 13巻（復刻 版）、ニューヨーク・ロンドン：Interscience Publishers（John Wiley & Sonsの一部門）、 xiii+234頁、ISBN 978-0-88275-228-0MR 0155856​ 
• Raynaud, Michel (1970)、Anneaux locaux henséliens、Lecture Notes in Mathematics、vol.  169、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、pp.  v+129、doi : 10.1007/BFb0069571、ISBN 978-3-540-05283-8MR 0277519​