可換代数 において 、 可換環 R 上の 加群 M の 台とは、 R のすべての 素イデアル の集合であって 、 （つまり、 における M の 局所化は 0 に等しくない）である。 [1] これは と表記される。台は、定義により、 R の スペクトル のサブセットである 。
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
ま
p
≠ 0
{\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
サップ ま
{\displaystyle \operatorname {Supp} M}
プロパティ
ま = 0
{\displaystyle M=0}
サポートが 空の 場合に限ります 。 をR 加群の 短完全列 と する 。すると
0 →
ま ′
→ ま →
ま ″
→ 0
{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}
サップ ま = サップ
ま ′
∪ サップ
ま ″
。
{\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.}
この和集合は非 結合和集合 ではない可能性があることに注意してください。 がサブモジュール の和である 場合 、
ま
{\displaystyle M}
ま
λ
{\displaystyle M_{\lambda}}
サップ ま =
⋃
λ
サップ
ま
λ
。
{\displaystyle \operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.}
が有限生成 R 加群である 場合 、 は M の 消滅子 を含むすべての素イデアルの集合です 。特に、これは Spec R上の ザリスキ位相 で閉じています。
ま
{\displaystyle M}
サップ ま
{\displaystyle \operatorname {Supp} M}
が有限生成 R 加群である場合 、
ま 、 いいえ
{\displaystyle M,N}
サップ （ ま
⊗
R
いいえ ） = サップ ま ∩ サップ いいえ 。
{\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.}
が有限生成 R 加群であり、 I が R の イデアル である 場合 、 はを 含むすべての素イデアルの集合です。 これは です 。
ま
{\displaystyle M}
サップ （ ま
/
私 ま ）
{\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}
私 + アン ま 。
{\displaystyle I+\operatorname {アン} M.}
五 （ 私 ） ∩ サップ ま
{\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} M}
準コヒーレント層のサポート F が スキーム X 上の 準コヒーレント層 である 場合、 F のサポートは 、 茎 F x がゼロでない X 内のすべての点 x の集合です。この定義は、 空間 X上の 関数のサポートの定義に似ており、これが「サポート」という単語を使用する理由です。サポートのほとんどの特性は、モジュールから準コヒーレント層に一字一句そのまま一般化されます。たとえば、 コヒーレント層 （またはより一般的には有限型層）のサポートは、 X の閉じた部分空間です 。 [2]
M が環 R 上の加群である場合、 加群としての M の台は、 アフィンスキーム Spec R 上の 関連する 準コヒーレント層の台と一致する 。さらに、が スキーム X のアフィン被覆である場合、準コヒーレント層 F の台は、各 R α上の関連する加群 M α の台の和集合に等しい 。 [3]
ま 〜
{\displaystyle {\tilde {M}}}
{
あなた
α
= スペック （
R
α
） }
{\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (R_{\alpha })\}}
例 上で述べたように、素イデアルが サポートに含まれるのは、それが の消滅子を含む場合のみである 。 [4] 例えば、 上では 、加群の消滅子
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
ま
{\displaystyle M}
R =
Ｃ
[ x 、 ええ 、 ず 、 わ ]
{\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}
ま = R
/
私 =
Ｃ
[ x 、 ええ 、 ず 、 わ ]
（
x
4
+
ええ
4
+
ず
4
+
わ
4
）
{\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}
は理想である 。これは、 多項式 f の消失軌跡が であることを意味する 。短完全列を見ると、
私 = （ ふ ） = （
x
4
+
ええ
4
+
ず
4
+
わ
4
）
{\displaystyle I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}
サップ ま ≅ スペック （ R
/
私 ）
{\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)}
0 → 私 → R → R
/
私 → 0
{\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}
我々は、 I = ( f )のサポートが Spec( R ( f ) ) であり、多項式 f の消失軌跡の補集合であると誤って推測するかもしれない 。実際、 Rは 整域 なので 、イデアル I = ( f ) = Rf はモジュールとして R と同型であり、そのサポートは空間全体、つまり Supp( I ) = Spec( R )
である。
ネーター環 上の有限加群のサポートは、 特殊化によって常に閉じている。 [ 要出典 ]
さて、積分領域で完全な交差イデアルを形成する 2つの多項式を取ると 、テンソルの性質から次のことが分かります。
ふ
1
、
ふ
2
∈ R
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in R}
（
ふ
1
、
ふ
2
）
{\displaystyle (f_{1},f_{2})}
サップ
（
R
/
（
ふ
1
）
⊗
R
R
/
（
ふ
2
）
）
= サップ
（
R
/
（
ふ
1
）
）
∩ サップ
（
R
/
（
ふ
2
）
）
≅ スペック （ R
/
（
ふ
1
、
ふ
2
） ） 。
{\displaystyle \operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).}
参照
参考文献
^ 幾何学計算要素 0 I 、1.7.1。 ^ Stacks Projectの著者（2017）。Stacks Project、タグ01B4。 ^ Stacks Projectの著者（2017）。Stacks Project、タグ01AS。 ^ アイゼンバッド、デイヴィッド 。 代数幾何学に向けた可換代数 。系 2.7。p. 67。 {{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所 ( リンク )
![{\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374e83752e18b61098f8285791f9195519f1ba21)
![{\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8282e48f1f724a8dc322e95b742eaf45587ccbf6)
