構成可能な集合（トポロジー）

位相幾何学において、構成可能集合は位相空間の部分集合のクラスであり、比較的「単純な」構造を持つ。これらは特に代数幾何学および関連分野で用いられる。代数幾何学におけるシュヴァレーの定理として知られる重要な結果 は、構成可能集合の像が代数多様体（またはより一般的にはスキーム）の重要な写像クラス （より具体的には射）に対して構成可能であることを示している。さらに、スキーム、射、層の多数の「局所的な」幾何学的特性は（局所的に）構成可能である。構成可能集合は、代数幾何学および交差コホモロジーにおけるさまざまな種類の構成可能層の定義にも用いられる。

多くの状況で適切な単純な定義は、構成可能集合は局所的に閉じた集合の有限和集合であるというものです。(集合が局所的に閉じているとは、開集合と閉集合の交差であることを意味します。) ただし、「大きな」空間でより適切に動作する定義を得るには、修正と、もう少し弱い定義が必要です。

定義:位相空間の部分集合は、任意のコンパクトな開部分集合 に対してがコンパクトなとき、レトロコンパクトと呼ばれます。 の部分集合が構成可能であるのは、 と がともに の開レトロコンパクト部分集合である形式の部分集合の有限和である場合です。部分集合が局所的に構成可能であるのは、の各構成可能部分集合であるという性質を持つ開部分集合からなる の被覆が存在するときです。 ^{[1] [2]}${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\cap U}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap (XV)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\cap U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

同様に、位相空間の構成可能部分集合は、(i) すべての開コンパクト部分集合を含み、(ii) その中の集合のすべての補集合と有限和集合（したがって有限積集合も）を含む、最小の部分集合の集合の集合です。言い換えれば、構成可能集合はまさに、コンパクト開部分集合によって生成されるブール代数です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle X}$

局所ノイザン位相空間では、すべての部分集合はレトロコンパクトであり、^[3]そのため、そのような空間では、最初に示した簡略化された定義は、より複雑な定義と同値です。代数幾何学でよく見られるスキームのほとんどは（すべての代数多様体を含む）局所ノイザンですが、より一般的なスキームにつながる重要な構成があります。

任意の（必ずしもネーター的ではない）位相空間において、すべての構成可能集合はその閉包の稠密な開集合を含む。^[4]

用語:ここでの定義は、 EGAの初版とStacks Projectで使用されている定義です。EGA の第 2 版では、構成可能な集合 (上記の定義による) は「グローバルに構成可能」と呼ばれ、「構成可能」という単語は、上記でローカルに構成可能と呼ばれているものに対してのみ使用されます。^[5]

代数幾何学における構成可能集合の重要性の主な理由は、 (局所的に) 構成可能集合の像が、多数の写像 (または「射」) に対しても (局所的に) 構成可能であることです。重要な結果は次のとおりです。

シュヴァレーの定理。がスキームの有限表示射であり、 が局所構成可能な部分集合である 場合、も において局所構成可能である。^{[6] [7] [8]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle f(Z)}$${\displaystyle Y}$

特に、代数多様体の像は多様体である必要はありませんが、（仮定の下では）常に構成可能な集合です。たとえば、を に送る写像は集合 を像としますが、これは多様体ではありませんが、構成可能です。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,xy)}$${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$

上述の一般性におけるシュヴァレーの定理は、構成可能集合の簡略化された定義（定義においてレトロコンパクト開集合に限定しない）が使用されると成立しなくなる。 ^[9]

スキームの射影やスキーム上の準コヒーレント層の「局所的」性質の多くは、局所的に構成可能な部分集合上で成り立つ。EGA IV § 9 ^[10]は、そのような性質の多くをカバーしている。以下にいくつかの例を挙げる（すべての参照は EGA IV を参照している）。

• がスキームの有限生成射であり、が有限生成準コヒーレント - モジュールの列である場合、 が正確である の集合は局所的に構成可能である。(命題 (9.4.4))${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$
• がスキームの有限生成射であり、が有限生成準コヒーレント - モジュールである場合、 が局所的に自由であるの集合は局所的に構成可能である。(命題 (9.4.7))${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$
• がスキームの有限生成射であり、が局所的に構成可能な部分集合である場合、 がで閉じている（または開いている）の集合は局所的に構成可能です。（系（9.5.4））${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$${\displaystyle f^{-1}(s)}$
• をスキーム、を-スキームの射とします。上のファイバーの誘導射が何らかの性質を持つの集合を考えます。 が以下の性質のいずれかを満たしている場合、 は局所的に構成可能です: 射影的、固有、有限、浸漬、閉じた浸漬、開いた浸漬、同型。(命題 (9.6.1))${\displaystyle S}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\subset S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} }$
• をスキームの有限生成射とし、ファイバーが特性 を持つの集合を考える。 が以下の特性のいずれかを満たす場合、 は局所的に構成可能である: 幾何学的に既約、幾何学的に連結、幾何学的に簡約。(定理 (9.7.7))${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle P\subset S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f^{-1}(s)}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} }$
• をスキームの局所的に有限に提示された射とし、ファイバーが特性 を持つの集合を考えます。が以下の特性のいずれかを満たしている場合、 は局所的に構成可能です: 幾何学的に正則、幾何学的に正規、幾何学的に簡約。(命題 (9.9.4))${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$${\displaystyle P\subset X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {P} }$

これらの構成可能性の結果が持つ重要な役割の一つは、ほとんどの場合、問題となる射影も 平坦であると仮定すると、問題となる性質は実際には開集合で成り立つということである。そのような結果のかなりの数は、EGA IV § 12 に含まれている。^[11]

• 構築可能なトポロジー
• 構築可能な束

• アルーシュ、ジャン・ポール。位相空間の構成可能集合に関する注記。
• アンドラダス、カルロス。ブロッカー、ルートヴィヒ。ルイス、ヘスス M. (1996)。実際のジオメトリで構築可能なセット。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- 数学および関連分野の結果 (3)。 Vol. 33. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.x+270。ISBN 3-540-60451-0. MR  1393194。
• ボレル、アルマン。線型代数群。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的要素の要素: III. 顔合わせのコホモロジーの練習、初演パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。１１．土井：10.1007/bf02684274。MR  0217085。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1964)。 「幾何学的計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、プレミア パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２０．土井：10.1007/bf02684747。MR  0173675。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1966)。 「幾何学的手法の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、トロワジエム パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２８．土井：10.1007/bf02684343。MR  0217086。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1971)。幾何学的計算の要素: I. スキーマの言語。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (フランス語)。 Vol. 166（第2版）。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-05113-8。
• Mostowski, A. (1969)。構成可能集合とその応用。論理学と数学の基礎研究。アムステルダム --- ワルシャワ: North-Holland Publishing Co. ---- PWN -Polish Scientific Publishers。pp . ix+269。MR  0255390。

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC （局所的）構成可能性の位相的定義
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H スキームの射の構成可能性特性（シュヴァレーの定理を含む）