コズルコンプレックス

数学において、コシュル複体は、リー代数のコホモロジー理論を定義するために、ジャン＝ルイ・コシュルによって初めて導入されました（リー代数のコホモロジーを参照）。これは、ホモロジー代数における有用な一般構成であることが判明しました。ツールとして、そのホモロジーは、（局所）環の要素の集合がM 正則列であるかどうかを判断するために使用でき、したがって、クルル次元という幾何学的概念と関連しているが異なる代数的次元の概念であるモジュールまたはイデアルの深さに関する基本的事実を証明するために使用できます。さらに、特定の状況では、この複体はシジジーの複体であり、つまり、モジュールの生成元間の関係、これらの関係間の関係などを示します。

A を可換環とし、s: A ^r → A をA線型写像とする。そのコシュル複体 K _sは

${\displaystyle \bigwedge ^{r}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{r-1}A^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ \bigwedge ^{1}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{0}A^{r}\simeq A}$

地図が送られる場所

${\displaystyle \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\ \mapsto \ \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(\alpha _{i})\ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {\alpha }}_{i}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$

ここで、 は項が省略されていることを意味し、 はウェッジ積を意味します。 は任意のAモジュールに置き換えることができます。 ${\displaystyle {\hat {\ }}}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle A^{r}}$

M を多様体、多様体、スキーム、... とし、A をその上の関数の環 ( と表記) とします。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

この写像はr個の関数を選択することに対応する。r = 1のとき、Koszul複体は ${\displaystyle s\colon A^{r}\to A}$${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot f}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)}$

その余核は零点f = 0上の関数の環である。一般に、コシュル複体は

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot (f_{1},...,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ {\stackrel {\cdot (f_{1},\dots ,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M).}$

最後の写像の余核は、再び零点上の関数です。これは、の r個のKoszul 複体のテンソル積であるため、その次元は二項係数で与えられます。 ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{r}=0}$${\displaystyle f_{i}=0}$

図で見る: 関数が与えられた場合、それらすべてが消える軌跡をどのように定義するのでしょうか? ${\displaystyle s_{i}}$

代数幾何学では、零軌跡の関数の環は です。導来代数幾何学では、関数のdg環は Koszul 複体です。軌跡が で横に交差する場合、これらは同値です。 ${\displaystyle A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$${\displaystyle s_{i}=0}$

したがって、Koszul 複合体はゼロ座の 派生交差です。

まず、 (A,s)のコシュル複体K _sは鎖複体であり、任意の2つの写像の合成はゼロである。次に、写像

${\displaystyle K_{s}\otimes K_{s}\ \to \ K_{s}\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ (\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})\otimes (\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell })\ \mapsto \ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell }}$

これをdg代数にする。^[1]

コシュル複体はテンソル積である。 ${\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle K_{s}\ \simeq \ K_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes K_{s_{r}}}$

ここで、はA-モジュールの連鎖複体の導来テンソル積を表す。^[2]${\displaystyle \otimes }$

が正規列を形成するとき、写像は準同型である、すなわち ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$${\displaystyle K_{s}\to A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(K_{s})\ =\ 0,\qquad i\neq 0,}$

任意のsについては、. ${\displaystyle H^{0}(K_{s})=A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

コシュル複体は、リー代数のコホモロジー理論を定義するために、ジャン＝ルイ・コシュルによって初めて導入されました（リー代数のコホモロジーを参照）。これは、ホモロジー代数における有用な一般構成であることが判明しました。ツールとして、そのホモロジーは、（局所）環の要素の集合がM 正則列であるかどうかを判断するために使用でき、したがって、クルル次元という幾何学的概念と関連しているが異なる代数的次元の概念であるモジュールまたはイデアルの深さに関する基本的事実を証明するために使用できます。さらに、特定の状況では、この複体はシジジーの複体であり、つまり、モジュールの生成元間の関係、これらの関係間の関係などを示します。

R を可換環とし、E をR上の有限階rの自由加群とする。 Eのi番目の外冪について次のように書く。R線型写像が与えられたとき、sに関連付けられた Koszul 複体はR加群の鎖複体である。 ${\displaystyle \bigwedge ^{i}E}$ ${\displaystyle s\colon E\to R}$

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0}$、

ここで微分は次のように与えられる: E内の任意の値に対して、 ${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$。

上付き文字は項が省略されていることを意味します。 を示すには、Koszul 複体の自己双対性を使用します。 ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$${\displaystyle d_{k}\circ d_{k+1}=0}$

および であることに注意してください。また、 であることに注意してください。この同型は標準的ではありません (たとえば、微分幾何学における体積形式の選択は、このような同型の例を提供します)。 ${\displaystyle \bigwedge ^{1}E=E}$${\displaystyle d_{1}=s}$${\displaystyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$

（つまり、順序付き基底が選ばれる）場合、 R線型写像を与えることは、 Rの要素の有限列（つまり、行ベクトル）を与えることに等しく、${\displaystyle E=R^{r}}$${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).}$

M が有限生成Rモジュールである場合、次のようになります。

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$、

これも誘導微分を持つ連鎖複素数です。 ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m}$

コシュル複体の i 番目 のホモロジー

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

はi番目の Koszul ホモロジーと呼ばれます。たとえば、と がRの要素を持つ行ベクトルである場合、は ${\displaystyle E=R^{r}}$${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

など

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.}$

同様に、

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).}$

可換環R 、 Rの元x、R加群Mが与えられたとき、 xによる乗算はR加群の準同型を与える。

${\displaystyle M\to M.}$

これを鎖状複体として考えると（1次と0次に配置し、他の場所にゼロを追加する）、 と表記されます。構築により、ホモロジーは次のようになります。 ${\displaystyle K(x,M)}$

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},}$

Mにおけるxの消滅。したがって、Koszul複体とそのホモロジーは、 xによる乗算の基本的な特性をエンコードします。この連鎖複体は、#定義にあるように、 xに関するRのKoszul 複体と呼ばれます。 ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$

ペアのコズル複合体は ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

行列は次のように表される 。${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$そして

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y&x\end{bmatrix}}.}$

が右側に適用されることに注意してください。1 次におけるサイクルは、要素xとy上の線形関係とまったく同じですが、境界は自明な関係です。したがって、最初の Koszul ホモロジーは、自明な関係を法とする関係とまったく同じです。要素が増えると、高次元の Koszul ホモロジーは、これの高レベル バージョンを測定します。 ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle H_{1}(K_{\bullet }(x,y))}$

要素が規則的なシーケンスを形成する場合、Koszul 複合体の高次ホモロジー モジュールはすべてゼロになります。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

kが体であり不定値であり、R が多項式環である場合、のKoszul 複体はkの具体的な自由R分解を形成します。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}}$${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]}$${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$${\displaystyle X_{i}}$

E をR上の有限階数自由加群、をR線型写像、t をRの元とする。を の Koszul 複体とする。 ${\displaystyle s\colon E\to R}$${\displaystyle K(s,t)}$${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus R\to R}$

を使用すると、正確な複素数列が得られます。 ${\displaystyle \bigwedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle 0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0}$、

ここで はおよびによる次数シフトを表す。注意: ^[3]におけるについては、 ${\displaystyle [-1]}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).}$

ホモロジー代数の言語では、上記はが の写像円錐であることを意味します。 ${\displaystyle K(s,t)}$${\displaystyle t\colon K(s)\to K(s)}$

長い正確なホモロジー列をとると、次のようになります。

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .}$

ここで、接続準同型

${\displaystyle \delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))}$

は次のように計算されます。定義により、y はxにマップされるの要素です。は直和なので、を(0, x )とすることができます。すると、 の初期の式はとなります。 ${\displaystyle \delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]}$${\displaystyle K(s,t)}$${\displaystyle K(s,t)}$${\displaystyle d_{K(s,t)}}$${\displaystyle \delta ([x])=t[x]}$

上記の正確なシーケンスを使用して、次のことを証明できます。

r上の帰納法による証明。 ならば。次に、 r - 1に対して主張が真であると仮定する。すると、上記の正確なシーケンスを使用すると、任意の に対して が成立することがわかる。 はの非零因子であるため、 に対しても が成立する。${\displaystyle r=1}$${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0}$${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0}$${\displaystyle i\geq 2}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle x_{r}}$${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.}$ ${\displaystyle \square }$

証明: 定理をSとS をS加群として適用すると、 は のSなしの解析であることがわかります。したがって、定義により、のi番目のホモロジーは上記の右側の項になります。一方、M上のS加群構造の定義により、 となります。${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})}$${\displaystyle S/(y_{1},\dots ,y_{n})}$${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M}$${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$${\displaystyle \square }$

証明: S = R [ y ₁ , ..., y _n ]とする。環準同型S → R , y _i → x _iによりM をS加群に変換し、y _i → 0によりRを S加群に変換する。前述の系により、 ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).}$ ${\displaystyle \square }$

局所環については、定理の逆が成り立つ。より一般的には、

証明: 2. が 1. を意味することを示すだけで、残りは明らかです。r に関する帰納法で論じます。r = 1の場合は既にわかっています。x 'をx ₁ , ..., x _{r -1}とします。

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .}$

最初のものはで射影的であるため。中山の補題により、したがってx ' は帰納的仮定により正則な数列になります。2 番目は入射的 (つまり、 は非零因子) であるため、は正則な数列です。(注: 中山の補題により、この要件は自動的に満たされます。)${\displaystyle x_{r}}$${\displaystyle N=x_{r}N}$${\displaystyle N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))}$${\displaystyle N=0}$${\displaystyle x_{r}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0}$${\displaystyle \square }$

一般に、C、Dが鎖複体である場合、それらのテンソル積は次式で与えられる鎖複体である。 ${\displaystyle C\otimes D}$

${\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}}$

微分：任意の同次元x、yに対して、

${\displaystyle d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)}$

ここで | x | はxの次数です。

この構成は特にコシュル複体に適用される。E 、Fを有限階数の自由加群とし、およびを2つのR線型写像とする。を線型写像のコシュル複体とする。すると、複体として、 ${\displaystyle s\colon E\to R}$${\displaystyle t\colon F\to R}$${\displaystyle K(s,t)}$${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus F\to R}$

${\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).}$

これを理解するには、外積代数（外積ではなく）を扱う方が便利です。次数の階乗微分を定義します。${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}$

Λ E内の任意の同次元x、yに対して、

• ${\displaystyle d_{s}(x)=s(x)}$いつ${\displaystyle |x|=1}$
• ${\displaystyle d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)}$

(次数に関する帰納法) と同次元への の作用が#定義 の微分と一致する ことが容易にわかります。${\displaystyle d_{s}\circ d_{s}=0}$${\displaystyle d_{s}}$

さて、 R加群は次数付きである。また、冒頭で述べたテンソル積の定義により、 ${\displaystyle \wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F}$

${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

とは同じ型の導出なので、これは次のことを意味する。${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}}$${\displaystyle d_{K(s,t)}}$${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.}$

特に、

${\displaystyle K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$。

次の命題は、コスルの元の複合体が、それらによって生成されるイデアル内のシーケンスに関する情報をどのようにエンコードするかを示しています。

証明: (簡単ですが今は省略)

応用として、Koszulホモロジーの深さ感度を示すことができます。環R上の有限生成モジュールMが与えられた場合、（1つの）定義により、イデアルIに関するMの深さは、 M上のIの元のすべての正規列の長さの上限です。これは と表記されます。イデアルIのM正規列x ₁ , ..., x _nが最大となるのは、 Iが上に非零因子を含まない場合であることを思い出してください。 ${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)}$${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$

Koszul ホモロジーは深さの非常に便利な特徴付けを提供します。

証明: 表記を簡略化するため、H( K (-)) を H(-) と書きます。y 1 , ..., y s をイデアル I の最大 M 正則列とします。この_列をと表記します。まず、 の帰納法によって、 の場合には であり、 の場合には 0 であること_を示す。基本的なケースは、#Koszul ホモロジーの特性から明らかです。Koszul ホモロジーの長完全列と帰納的仮説から、 ${\displaystyle {\underline {y}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)}$${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})}$${\displaystyle i=l}$${\displaystyle i>l}$${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}$、

これは また、同じ議論により、 の消失は に対しても成り立ちます。これで主張の証明が完了します。 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).}$${\displaystyle i>l}$

さて、主張と以前の命題から、すべてのi > n - sに対して となることがわかります。n - s = mと結論付けるには、 i = n - sの場合に非ゼロであることを示す必要があります。はIの最大M正則列であるため、イデアルI は、加群の関連する素数の有限和である のすべてのゼロ因子の集合に含まれます。したがって、素数回避により、となる非ゼロのvが存在し、これは次のように なります。${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0}$${\displaystyle {\underline {y}}}$${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$${\displaystyle I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)}$

${\displaystyle 0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.}$ ${\displaystyle \square }$

Koszul 複合体へのアプローチとして、チェーン複合体の代わりにコチェーン複合体を使用する方法があります。 結局のところ、これは本質的に同じ複合体になります (Koszul 複合体の自己双対性として知られている事実)。

E を環R上の有限階数rの自由加群とする。このとき、 Eの各元e はeによる外積左乗算を生じる。

${\displaystyle l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.}$

なので、次の式が成り立ちます。つまり 、${\displaystyle e\wedge e=0}$${\displaystyle l_{e}\circ l_{e}=0}$

${\displaystyle 0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0}$

は自由モジュールの共鎖複合体です。この複合体は Koszul 複合体とも呼ばれ、(Eisenbud 1995) で使用される複合体です。双対をとると、複合体は次のようになります。

${\displaystyle 0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0}$。

同型を使用すると、複体は定義内の Koszul 複体と一致します。 ${\displaystyle \wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})}$${\displaystyle (\wedge E,l_{e})}$

コシュル複体は、バナッハ空間における可換な有界線形作用素の組の結合スペクトルを定義する上で不可欠である。^[要出典]

• コズル・テイト複合体
• 朔望図法（数学）

• アイゼンバッド、デイビッド（1995）。可換代数：代数幾何学への視点から。数学の大学院テキスト。第150巻。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-94268-8。
• William Fulton (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• 松村秀之（1989）『可換環論』、ケンブリッジ高等数学研究（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre、Jean-Pierre (1975)、Algèbre locale、Multiplicites、Cours au Collège de France、1957 ～ 1958 年、ピエール ガブリエルによるレディジェ。トロワジエム編、1975 年。数学講義ノート (フランス語)、vol. 11、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag
• スタックス プロジェクト、セクション 0601

• Melvin Hochster、Math 711: 2007 年 10 月 3 日の講義 (特に最後の部分)。