Éléments de mathématique

『Éléments de mathématique』（英語: Elements of Mathematics ）は、フランスの匿名作家集団ニコラ・ブルバキによって書かれた数学書のシリーズである。1939年に開始されたこのシリーズは、数巻が出版されており、現在も執筆中である。このシリーズは、大規模で自己完結型の形式的な数学の扱いとして知られている。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ブルバキ・グループのメンバーは当初、この著作を解析学の教科書として構想し、仮題は『解析学概論』 （Traité d'analyse）としていた。しかし、構成を練るうちに、彼らはより野心的になり、その範囲を現代数学のいくつかの分野にまで広げた。他の分野も深く扱うように計画が拡大された時点で、『数学の基礎』（Éléments de mathématique ）という題名が採用された。このシリーズで扱われるトピックには、集合論、抽象代数学、位相幾何学、解析学、リー群、リー代数などがある。

タイトルの珍しい単数形の「mathématique」（数学）は意図的なもので、数学の統一性に対する著者の信念を伝えるためのものです。^{[ 3 ] [ 4 ]} 姉妹編である『Éléments d'histoire des mathématiques』（数学史の要素）は、以前に本書に掲載された歴史的注釈のいくつかを収集し、再掲載しています。

1934年後半、アンドレ・ヴェイユを含む数学者グループが、数学解析の教科書を共同で執筆することを決意した。彼らは、エドゥアール・グルサの『数学解析講義』（1902年）の現代版として、また第一次世界大戦で数学を学ぶ学生世代が亡くなったことで生じた教材の空白を埋めることを目的として、この著作を執筆した。グループは、フランスの将軍シャルル＝ドニ・ブルバキにちなんで、ニコラ・ブルバキという共同ペンネームを採用した。1930年代後半から1940年代初頭にかけて、ブルバキ・グループは研究計画を解析学以外にも拡大し、『数学の基礎』というタイトルでテキストの出版を開始した。^{[ 5 ]}

『エレメンツ』は、1939年にヘルマン社から最初の第1巻（「分冊」）が出版されて以来、定期的に刊行されており、ブルバキが最も精力的に活動し、最も影響力があった1950年代と1960年代には数巻が刊行された。^{[ 6 ]} 新しい巻が刊行されるまでに数年かかることもあり、さまざまな要因が刊行ペースの遅さに寄与している。グループの作業スタイルはゆっくりと厳格であり、最終的な成果物はグループ全員の承認がなければ受け入れられないとみなされる。^{[ 7 ]} さらに、第二次世界大戦はブルバキの初期の活動を中断させた。1970年代には、著作権と印税の支払いをめぐって、グループの最初の出版社であるヘルマン社との間で法的紛争が生じた。ブルバキグループは訴訟に勝訴し、ペンネームで執筆した作品の著作権を保持したが、代償もあった。1970年代は法廷闘争がグループの注意を独占し、ブルバキ名義での生産的な数学研究を妨げた。^{[ 8 ] [ 9 ]} 訴訟後、1980年代には、エディション・マッソンを通じて新刊の出版が再開された。1980年代から2000年代にかけて、ブルバキは出版頻度が非常に少なくなり、その結果、1998年にル・モンド紙はグループを「死んだ」と断言した。^{[ 10 ]}しかし、2012年にブルバキは『代数学』第8章の改訂増補版で『エレメンツ』の出版を再開し、続いて代数トポロジーに関する新しい書籍の最初のもの（グループの一般トポロジーに関する書籍の第11章として当初計画されていた内容も含む）^{[ 11 ]}、スペクトル理論に関する大幅に増補された2巻の書籍、そして2026年には位相ベクトル空間に関する2つの新しい章を出版した。さらに、全く新しい2冊の書籍（圏論 とモジュラー形式に関するもの）が準備中であるとされている。^{[ 12 ] [ 13 ]}

21世紀に入ってから、シュプリンガー・フェルラーク社がブルバキの現在の出版社となり、 『原論』を再版するとともに、新しい巻も出版している。初期の『原論』の一部はオンラインアーカイブで閲覧可能であり^{[ 14 ]}、数学史家のリリアン・ボーリューは出版の順序を記録している^{[ 15 ] 。}

『エレメンツ』は複雑な出版の歴史をたどってきた。1940年代から1960年代にかけて、ブルバキは『エレメンツ』を小冊子の形で、個々の章を小冊子にまとめて出版した。フランス語では「ファシクル」と呼ばれている。^{[ 15 ]}ブルバキは、作品の論理的な順序を決定していたにもかかわらず（下記参照）、論理的な構造の順序で『エレメンツ』 を出版しなかった。 ^{[ 3 ]} むしろ、グループは作品の全体像を大まかに計画し、最終的な成果物について合意できるところから、ばらばらの章を出版した。その際、（論理的に）後の章が（時系列的に）先に出版されたとしても、最終的には論理的に前の章の後の出版に基づかなければならないという理解があった。最初に出版された『エレメンツ』は、1939年の『集合論の結果の要約』であった。証明や定理を含む集合論に関する最初の本格的な章は、1954年まで登場しなかった。作品の論理的な構造とは無関係に、初期の小冊子には、歴史的な参照のために出版社のヘルマンによって年代順の番号が付けられた。^{[ 15 ]} 徐々に、小さな小冊子が集められ、より大きな巻に再版され、作品の現代版の基礎となった。

『エレメンツ』の大部分は英語に翻訳されているが、この翻訳は不完全である。現在、この著作の完全なフランス語版は、29巻に印刷された12冊の本、73章から構成されている。英語版は7冊の本を完全に再現し、2冊を部分的に再現しているが、3冊は入手不可能である。英語版は14巻からなり、元の73章のうち58章を再現している。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ a ]}ただし、英語の『General Topology』は、最新の改訂フランス語版（1971年と1974年）に基づいておらず、そこに追加されたいくつかの資料（例えば、第VIII章の四元数と回転群について）が欠落している。

『Éléments de mathématique』は、書籍、巻、章に分かれています。書籍とは、数学の幅広い分野や分野（代数学、積分など）を指します。書籍は、複数の巻（紙の本）で出版される場合もあれば、1冊の書籍として出版される場合もあります。本書はさらに章に細分化されており、巻によっては1つの章のみで構成されるものもあります。

数学の教科書に典型的なように、『Éléments』の各章では、定義、数学記号、定理の証明、演習問題が提示され、本書の中核となる数学的内容を形成しています。各章には、歴史的注釈と結果の要約が補足されています。前者は通常、各章の後に続き、そのトピックの展開を文脈化するために用いられ、後者は、本書の主要な結果を証明なしでまとめて述べるセクションとして時折使用されます。 『Eléments d'histoire des mathématiques 』は、リー群とリー代数に関する書籍まで、 『 Éléments』本文で以前に発表されたいくつかの歴史的注釈セクションをまとめたものです。

ブルバキの創始者たちが当初『解析論』を計画したとき、彼らはテキストの導入部と基礎部を構想し、そこで前提となる概念をすべて一から説明することにした。このテキストの提案された領域は「抽象パケット」（Paquet Abstrait）と呼ばれた。初期の計画段階で、創始者たちは抽象パケットの範囲を大幅に拡大し、その結果、1つの巻のセクションや章ではなく、それを表現するために複数の巻が必要となった。この『原論』の部分は、集合論、抽象代数、および一般位相を扱う最初の3巻として徐々に実現された。^{[ 5 ] [ 19 ]}

今日では、『解析の基礎』は2つの部分に分かれています。ブルバキは、この著作の第1部を、I.集合論、II.代数学、III.一般位相、IV.実変数関数、 V.位相ベクトル空間、VI.積分という6つの番号付きの本に構成しました。最初の6つの本には、「解析の基礎構造」という統一的な副題が付けられており、^{[ 15 ] [ 20 ]}ブルバキが当初意図していた、解析に関する厳密な論文を、集合論、代数学、一般位相の徹底的な解説とともに書くという目的が達成されています。

『解析学の基本構造』全体を通して、各章で提示される記述や証明は、前の章、あるいは同じ章の前の段階で確立された結果を前提としています。具体的には、最初の6巻における論理構造は以下のとおりで、各節は先行するすべての内容を前提としています。

• I：集合論
• II（1）：代数学、第1～3章
• III（1）：一般トポロジー、第1～3章
• II（2）：代数学、第4章以降
• III（2）：一般トポロジー、第4章以降
• IV：実変数の関数
• V：位相ベクトル空間
• VI：統合^{[ b ]}

したがって、6冊の本は「論理的に順序付けられている」が、第2巻である代数学の後半の章で提示される内容の一部は、第3巻である一般位相幾何学の前半の章の結果を参照しているという注意点がある。^{[ c ]}

『解析学の基礎構造』に続いて、『エレメンツ』の第2部は、より現代的な研究トピックを扱った書籍で構成されています。リー群とリー代数、可換代数、スペクトル理論、微分多様体と解析多様体、代数トポロジーです。『エレメンツ』の最初の6冊は厳密な順序論理構造に従っていましたが、第2部の各書籍は最初の6冊で確立された結果に依存しており、第2部の他の書籍の結果には依存していません。^{[ 3 ]}また、この著作の第2部には、『解析学の基礎構造』 に匹敵する統一的な副題がありません。

『エレメンツ』はフランス語版と英語版が刊行されており、詳細は下記に詳述する。

• ユークリッドの『原論』
• プリンキピア・マテマティカ

• レオ・コリー、究極の数学教科書を執筆: ニコラス・ブルバキの『数学的要素』