フラットモジュール

代数学では、平坦な加群には、自由加群、射影加群、および主イデアル領域上の捩れのない加群が含まれます。正式には、環R上の加群 Mが平坦であるとは、RとMのテンソル積をとっても正確な数列が保存される場合です。加群が忠実に平坦であるとは、数列とテンソル積をとっても正確な数列が生成されることと、元の数列が正確である場合に限ります。

平坦性は、Jean-Pierre Serre  (1956) の論文「Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique」で導入されました。

環R上の左加群Mが平坦であるとは、次の条件が満たされる場合である。右R加群の任意の単射線型写像に対して、写像 ${\displaystyle \varphi :K\to L}$

${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M:K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M}$

も単射であり、ここで誘導される写像は${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M}$${\displaystyle k\otimes m\mapsto \varphi (k)\otimes m.}$

この定義では、 Rへの有限生成イデアルの包含への注入を制限すれば十分です。 ${\displaystyle \varphi }$

同様に、R加群Mが平坦となるのは、Mとのテンソル積が正確な関数である場合、つまり、 R加群のすべての短完全列に対して、その列も正確である場合です。(テンソル積は右完全関数であるため、これは同等の定義です。) ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0,}$${\displaystyle 0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0}$

これらの定義は、 R が非可換環で、M が左R加群である場合にも適用されます。この場合、K、L、およびJ は右R加群でなければならず、テンソル積は一般にR加群ではなく、アーベル群のみです。

平坦性は次の等式条件によって特徴付けることもできます。これは、 MのR線形関係がRの線形関係から生じることを意味します。

左R加群Mが平坦であるための必要十分条件は、任意の線形関係に対して

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}x_{i}=0}$

およびのとき、および なる元が存在する。^[1]${\displaystyle r_{i}\in R}$${\displaystyle x_{i}\in M}$${\displaystyle y_{j}\in M}$${\displaystyle a_{i,j}\in R,}$

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}a_{i,j}=0\qquad }$のために${\displaystyle j=1,\ldots ,n,}$

そして

${\textstyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad }$のために${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

これは、モジュールのn個の要素と、の標準基底を n 個の要素に写像する、 からこのモジュールへの線型写像を定義することと同等です。これにより、次のように、準同型写像に関して前述の特徴付けを書き直すことができます。 ${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle R^{n}}$

R 加群Mが平坦であるためには、次の条件が成立する必要がある:が有限生成自由R加群であるすべての写像に対して、写像の有限生成R部分加群は写像gを介して自由R加群に因数分解され、${\displaystyle f:F\to M,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ker f,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g(K)=0:}$

平坦性は、自由、射影、ねじれなしなど、他のさまざまなモジュールの特性と関連しています。特に、すべての平坦なモジュールはねじれなし、すべての射影モジュールは平坦、すべての自由モジュールは射影です。

平坦で射影的でない有限生成加群があります。ただし、平坦な有限生成加群はすべて、最も一般的に考えられる環上に射影的です。さらに、有限生成加群が平坦なのは、局所的に自由である場合のみであり、つまり、素イデアルにおけるすべての局所化は自由加群であることを意味します。

これは次のグラフに部分的にまとめられています。

すべての平坦なモジュールはねじれがありません。これは、 m = 1とした場合の関係に関する上記の特徴付けから生じます。

逆は整数に対しても成り立ち、より一般的には主イデアル領域とデデキント環に対しても成り立ちます。

すべての捩れのない加群が平坦となる積分領域はプリューファー領域と呼ばれます。

加群Mが射影的であるためには、自由加群 Gと 2 つの線型写像およびが存在し、特に、すべての自由加群は射影的である (およびとする)。${\displaystyle i:M\to G}$${\displaystyle p:G\to M}$${\displaystyle p\circ i=\mathrm {id} _{M}.}$${\displaystyle G=M}$${\displaystyle i=p=\mathrm {id} _{M}}$

すべての射影加群は平坦である。これは、線形写像の観点からの平坦性と射影性の上記の特徴から、次のように証明できる。${\displaystyle g=i\circ f}$${\displaystyle h=p.}$

逆に、有限生成平坦加群は、可換代数と代数幾何学で一般的に満たされる緩やかな条件の下で射影的である。これにより、平坦性の概念は、主に有限生成ではない加群に対して有用となる。

平坦な有限生成モジュール（有限生成自由モジュールを有限生成サブモジュールで割ったもの）は常に射影的です。これは、上記の線型写像による平坦性の特徴付けにおいて、 f を全射とすることで証明できます。条件は、次のような線型写像が存在することを意味します。したがって、 f が全射であるため、したがって、M は射影的です。 ${\displaystyle K=\ker f}$${\displaystyle g(K)=0}$${\displaystyle i:M\to G}$${\displaystyle i\circ f=g,}$${\displaystyle h\circ i\circ f=h\circ g=f.}$${\displaystyle h\circ i=\mathrm {id} _{M},}$

ネーター環上では、すべての有限生成平坦加群は射影的である。これは、すべての有限生成加群が有限表示されるからである。同じ結果は、ネーター環でなくても、整域上でも成り立つ。 ^[2]

局所環上では、すべての有限生成平坦モジュールは自由である。^[3]

射影的でない有限生成平坦な加群は、次のように構築できます。を、固定体Fに属する項を持つ無限シーケンスの集合とします。これは、加算と乗算が成分ごとに定義された可換環です。この環は絶対平坦です(つまり、すべての加群が平坦です)。I が有限個の非ゼロ項を持つシーケンスのイデアルである加群は、平坦で有限生成 (生成元は 1 つだけ) ですが、射影的ではありません。 ${\displaystyle R=F^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R/I,}$

• I がノイザン可換環R のイデアルである場合、I が冪等元（つまりその平方に等しい元）によって生成される場合を除き、 は平坦な加群ではありません。特に、 Rが整域である場合、がRに等しいか、 が零イデアルである場合にのみ、 は平坦になります。${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$
• 整域上では、平坦な加群は捩れがない 。したがって、非ゼロの捩れ元を含む加群は平坦ではない。特に、および正の特性を持つすべての体は非平坦な-加群であり、 は整数の環、 は有理数の体である。${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

モジュールの直和が フラットになるのは、各モジュールがフラットである場合のみです。 ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$

平坦の直接極限は平坦である。特に、自由加群の直接極限は平坦である。逆に、すべての平坦加群は有限生成自由加群の直接極限として書くことができる。^[4]

平坦な加群の直積は一般に平坦である必要はない。実際、環Rが与えられたとき、平坦なR加群のすべての直積が平坦となるのは、R がコヒーレント環である場合（つまり、有限生成イデアルはすべて有限表示される場合）に限ります。^[5]

環準同型は、準同型によって誘導される加群構造に対して S が平坦R加群である場合に 平坦である。たとえば、任意の環Rに対して、多項式環R [ t ]はR上平坦である。 ${\displaystyle R\to S}$

可換環の任意の乗法部分集合 に対して、局所化は平坦なR代数である（例外的な場合にのみ射影的である）。例えば、は平坦であり、${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

がノイマン可換環のイデアルである場合、に対する の完備化は平坦である。^[6]が忠実に平坦であるためには、が のヤコブソン根基に含まれる必要がある（ザリスキー環も参照）。^[7]${\displaystyle I}$${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A.}$

この節では、R は可換環を表す。 がRの素イデアルである場合、における局所化は、通常どおり、 を添え字として表される。すなわち、であり、M がR加群である場合、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R,}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M=R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M.}$

M がRモジュールである場合、次の 3 つの条件は同等です。

• ${\displaystyle M}$はフラットな- モジュールです。${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$はすべての素イデアルに対して平坦な - 加群である${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}};}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$はあらゆる極大イデアルに対して平坦な - 加群である${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

この性質は可換代数と代数幾何学において基本的なものであり、局所環の場合に平坦性の研究を限定するものである。平坦性は局所的性質であると表現されることが多い。

スキームの平坦射の定義は、平坦性の局所的性質から直接生じます。

スキームの射は、局所環上の誘導写像 が平坦射であるとき、${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

は、 X内の任意の点xに対する平坦環準同型です。

したがって、平坦な（または忠実に平坦な）環準同型の性質は、代数幾何学における平坦射の幾何学的性質に自然に拡張されます。

例えば、平坦な-代数（下記参照）を考えてみましょう。包含により平坦射が誘導されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$${\displaystyle R=\mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t)}$${\displaystyle \mathbb {C} [t]\hookrightarrow R}$

${\displaystyle \pi :\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t]).}$

各（幾何学的）繊維は方程式の曲線です（平坦化と通常の円錐への変形も参照）。 ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$${\displaystyle xy=t.}$

を可換ノイザン環と非零因子上の多項式環とする。このとき、が 上で平坦であるためには が原始的である必要がある（係数が単位イデアルを生成する）。^[8]例としては^[9]があり、これは 上で平坦（かつ自由）である（幾何学的意味については下記も参照）。このような平坦な拡張は、自由ではなく局所化から生じない平坦な加群の例を生成するために使用できる。 ${\displaystyle S=R[x_{1},\dots ,x_{r}]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f\in S}$${\displaystyle S/fS}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t),}$${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

モジュールが忠実に平坦であるとは、元のシーケンスが正確である場合にのみ、シーケンスとのテンソル積が正確なシーケンスを生成する場合です。この概念は、非必要可換環上のモジュールに対して定義されていますが、主に可換代数に使用されます。したがって、一部の結果は非可換環上のモジュールの場合に一般化できますが、ここではこれが唯一のケースとして考慮されます。

このセクションでは、 は可換環の環準同型であり、 に-代数と-加群の構造を与えます。 が-加群平坦(または忠実に平坦)である場合、一般に はに対して平坦(または忠実に平坦)であり、 は平坦(または忠実に平坦)である と言われます。${\displaystyle f\colon R\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle f}$

が平坦である場合、以下の条件は同等です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle R,}$

• ${\displaystyle S}$忠実にフラットです。
• の各最大イデアルに対して、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}S\neq S.}$
• が非ゼロの -module である場合、${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M\otimes _{R}S\neq 0.}$
• のあらゆる素イデアルに対して、となるようなの素イデアルが存在する。言い換えれば、によってスペクトル上に誘導される写像は射影的である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f^{-1}({\mathfrak {P}}).}$${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f,}$は単射であり、の純粋部分環である。つまり、は任意の- 加群に対して単射である。^[a]${\displaystyle R}$${\displaystyle S;}$${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

2 番目の条件は、局所環の平坦な局所準同型が忠実に平坦であることを意味します。最後の条件から、( を取る)の任意のイデアルに対してが成り立ちます。特に、 がネーター環である場合、もネーターです。 ${\displaystyle I=IS\cap R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M=R/I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$

最後から2番目の条件は、次のように強化された形で述べることができます。 は沈み込みであり、これはのザリスキ位相が のザリスキ位相の商位相であることを意味します（これは、スキームの忠実に平坦な準コンパクト射がこの性質を持つという事実の特別な場合です。^[10]）。平坦射 § 平坦射の性質も参照してください。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)}$

• 非零自由R加群であるような環準同型は忠実平坦である。例えば、 ${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle S}$
  • すべての体拡張は忠実に平坦です。この特性は、実ベクトル空間での結果を証明するために複素化を使用することの背後に暗黙的に存在します。
  • 多項式環は、その係数の環を忠実に平坦に拡張したものです。
  • が単項多項式である場合、包含は忠実に平坦です。${\displaystyle p\in R[x]}$${\displaystyle R\hookrightarrow R[t]/\langle p\rangle }$
• とする における局在の直積がに対して忠実に平坦であるためには、の単位イデアルを生成する必要がある（つまり、が の線型結合である場合）。^[11]${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}\in R.}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}R[t_{i}^{-1}]}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle t_{i}}$
• すべての素イデアルにおけるの局所化の直和は、素イデアルが有限個ある場合を除いて、代数ではない忠実に平坦なモジュールです。${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$

最後の 2 つの例は、可換代数と代数幾何学における局所化の広範な使用の背後に暗黙的に存在します。

• 与えられた環準同型に対して、アミチュール複体と呼ばれる関連する複体が存在する: ^[12]${\displaystyle f:A\to B,}$

$${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {\delta ^{0}}{\to }}B\otimes _{A}B{\overset {\delta ^{1}}{\to }}B\otimes _{A}B\otimes _{A}B\to \cdots }$$ ここで、共境界演算子は、各スポットに 1 を挿入することによって得られるマップの交代和です。たとえば、 です。 が忠実に平坦である場合、(Grothendieck) この複体は正確です。 ${\displaystyle \delta ^{n}}$${\displaystyle \delta ^{0}(b)=b\otimes 1-1\otimes b}$${\displaystyle f}$

ここに、必ずしも平坦ではない準同型に対する忠実平坦準同型の一つの特徴を示す。が-一次イデアルであるような入射的局所準同型が与えられたとき、その準同型が忠実平坦であるための必要十分条件は、遷移の定理がそれに対して成り立つことである。つまり、の各 - 一次イデアルに対して、^[13]${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})\hookrightarrow (S,{\mathfrak {n}})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle S\to B}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {q}}S)=\operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {m}}S)\operatorname {length} _{R}(R/{\mathfrak {q}}).}$

平坦性は、テンソル積の左導来関手であるTor関手を使って表現することもできる。左-加群が平坦であるための必要条件は次の通りである。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(X,M)=0}$すべてのおよびすべての右-モジュールに対して）。^[b]${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

実際、最初のTor項が消えること、つまりMが平坦であるのは、

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

任意の- 加群に対して、あるいはさらに限定的に、およびが任意の有限生成イデアルであるとき。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=R/I}$${\displaystyle I\subset R}$

Tor関数の長完全列を使うと、短完全列に関する事実を簡単に証明できる。

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\to 0}$

およびが平坦であれば、 も平坦です。また、 およびが平坦であれば、 も平坦です。 およびが平坦であれば、一般に は平坦である必要はありません。ただし、 がにおいて純粋であり、 が平坦であれば、 およびは平坦です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

モジュールのフラットな解決とは、次のような形式の 解決である。${\displaystyle M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0,}$

ここで、 はすべて平坦なモジュールです。任意の自由または射影的な解決は、必ず平坦な解決になります。平坦な解決は、 Tor 関数を計算するために使用できます。 ${\displaystyle F_{i}}$

有限平坦分解の長さは、 が非ゼロで に対して となる最初の添え字nです。モジュールが有限平坦分解を許容する場合、 のすべての有限平坦分解の中で最小の長さはその平坦次元^[14]と呼ばれ、 と表記されます。 が有限平坦分解を許容しない場合は、慣例により平坦次元は無限大と呼ばれます。例として、となるモジュールを考えます。この状況では、シーケンスの正確さは、中央の矢印が同型であることを示しており、したがってそれ自体が平坦です。^[c]${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{i}=0}$${\displaystyle i>n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {fd} (M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {fd} (M)=0}$${\displaystyle 0\to F_{0}\to M\to 0}$${\displaystyle M}$

モジュール理論のいくつかの分野では、平坦な解決は、各マップが右側のマップの核の平坦な前被覆であるという追加の要件を満たす必要があります。射影解決の場合、この条件はほとんど見えません。射影前被覆は、単に射影モジュールからのエピモーフィズムです。これらのアイデアは、Auslander の近似に関する研究からヒントを得ています。これらのアイデアは、各マップが右側のマップの核の射影被覆であることが要求される、より一般的な最小射影解決の概念からも知られています。ただし、射影被覆は一般には存在する必要がないため、最小射影解決は整数などの環上でのみ限定的に使用されます。

加群の射影被覆は常に存在するわけではないが、一般の環に対しては、すべての加群が平坦被覆を持つ、つまりすべての加群M が平坦加群Fのエピモーフィック像であり、平坦加群からMへのすべての写像がF を通り、FのM上への任意の自己準同型が自己同型になる、と推測された。この平坦被覆予想は、 Enochs (1981, p. 196) で初めて明示的に述べられた。この予想は正しいことが判明し、L. Bican、R. El Bashir、E. Enochs によって同時に肯定的に解決され、証明された。 ^[15]これに先立って、P. Eklof、J. Trlifaj、J. Xu による重要な貢献があった。

すべての環上のすべての加群に対して平坦被覆が存在するため、多くの状況では、極小平坦分解が極小射影分解の代わりとなることができる。平坦分解の射影分解からの逸脱の測定は相対ホモロジー代数と呼ばれ、Mac Lane (1963) などの古典や、Enochs と Jenda (2000) などの平坦分解に焦点を当てた最近の研究で取り上げられている。

平坦な加群は、射影加群があまり役に立たない構成的数学において重要性が高まっている。例えば、すべての自由加群が射影的であることは選択公理の完全版と同値であるため、射影加群に関する定理は、たとえ構成的に証明されたとしても、必ずしも自由加群には適用されない。対照的に、自由加群が平坦であることを証明するために選択は必要ないため、平坦加群に関する定理は依然として適用可能である。^[16]

• 一般的な平坦性
• 平坦射影
• フォン・ノイマン正則リング-すべてのモジュールが平坦になるリング。
• 通常平らなリング