モジュールのサブセットをゼロにマッピングする理想
数学 において 、 環 上の 加群 の 部分集合 S の 消滅とは、 S の各元を乗じたときに常に 0 を与える環の元によって形成される イデアル である 。
整域 上で 、非ゼロの消滅子を持つ加群は 捩れ加群 であり、 有限生成 捩れ加群は非ゼロの消滅子を持ちます。
上記の定義は非可換環の場合にも適用されます。非可換環の場合 、 左加群の 左消滅子 は左イデアルであり、 右加群の 右消滅子 は右イデアルです。
定義 R を 環 と し 、 M を 左 R 加 群とする。 M の 空でない 部分集合 S を選択する 。 S の 消滅子は Ann R ( S ) と表記され、 R のすべての元 r の集合であって、 S のすべて の sに対して rs = 0 と なる集合である 。 [1] 集合記法では、
A
n
n
R
(
S
)
=
{
r
∈
R
∣
r
s
=
0
{\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0}
全ての
s
∈
S
}
{\displaystyle s\in S\}}
これは、 S を 「消滅させる」 Rのすべての要素 ( S が捩れ集合である要素) の集合です。 定義で
「 sr = 0 」を変更した後、右モジュールのサブセットも使用できます。
単一要素x の消滅子は 、通常、Ann R ({ x })ではなくAnn R ( x ) と表記されます。環 R が 文脈から理解できる場合は、下付き文字 R を省略できます。
R はそれ自身の加群な ので、 S は R 自身 の部分集合とみなすことができます。また、 R は 右 R 加群と左 R 加群の両方であるため、左側または右側を示すために表記を少し変更する必要があります。通常 、および または同様の下付き文字スキームを使用して、必要に応じて、左の消滅子と右の消滅子を区別します。
ℓ
.
A
n
n
R
(
S
)
{\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}
r
.
A
n
n
R
(
S
)
{\displaystyle r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}
M が R 加群であり 、 Ann R ( M ) = 0 である場合 、 M は 忠実な加群 と呼ばれます 。
プロパティ Sが左 R 加群 M の部分集合 ならば 、Ann( S )は R の 左 イデアル である。 [2]
Sが M の サブモジュール である 場合 、Ann R ( S ) は両側イデアルでもあります: ( ac ) s = a ( cs ) = 0、 cs は S の別の要素であるため 。 [3]
S が M のサブセットであり 、 N が S によって生成された M のサブモジュールである 場合 、一般に Ann R ( N ) は Ann R ( S )のサブセットです が、それらは必ずしも等しいとは限りません。 Rが 可換で ある場合 、等式が保持されます。
M は、 作用 を用いて R /Ann R ( M ) 加群とみなすこともできます 。ちなみに、この方法で R加群を R / I 加群にすること は 必ずしも可能ではありませんが、イデアル I が M の消滅子の部分集合である場合、この作用は明確に定義されます。R /Ann R ( M ) 加群 として考えると、 M は 自動的に忠実な加群になります。
r
¯
m
:=
r
m
{\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}
可換環の場合 このセクション全体を通して、 は 可換環であり、 は 有限生成 - 加群であるとします 。
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
サポートとの関係 モジュールのサポートは 次 のように定義される。
Supp
M
=
{
p
∈
Spec
R
∣
M
p
≠
0
}
.
{\displaystyle \operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}
そして、モジュールが有限生成の場合、関係式は次のようになる。
V
(
Ann
R
(
M
)
)
=
Supp
M
{\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M}
、 ここで、は 部分集合を含む 素イデアル の集合である。 [4]
V
(
⋅
)
{\displaystyle V(\cdot )}
短い完全シーケンス モジュールの
短い正確なシーケンス が与えられた場合、
0
→
M
′
→
M
→
M
″
→
0
,
{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0,}
サポートプロパティ
Supp
M
=
Supp
M
′
∪
Supp
M
″
,
{\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',}
[5] 消滅者との関係と合わせて、
V
(
Ann
R
(
M
)
)
=
V
(
Ann
R
(
M
′
)
)
∪
V
(
Ann
R
(
M
″
)
)
.
{\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).}
具体的には、
Ann
R
(
M
′
)
∩
Ann
R
(
M
″
)
⊇
Ann
R
(
M
)
⊇
Ann
R
(
M
′
)
Ann
R
(
M
″
)
.
{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').}
数列が分割される場合、左側の不等式は常に等式になります。実際、これは任意の加群の 直和 に対して成り立ちます。
Ann
R
(
⨁
i
∈
I
M
i
)
=
⋂
i
∈
I
Ann
R
(
M
i
)
.
{\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).}
商モジュールと消滅器 イデアルが与えられ 、 有限生成モジュールとすると、次の関係がある。
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq R}
M
{\displaystyle M}
Supp
(
M
/
I
M
)
=
Supp
M
∩
V
(
I
)
{\displaystyle {\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)}
支持との関係を用いると、これは消滅器との関係を与える [6]
V
(
Ann
R
(
M
/
I
M
)
)
=
V
(
Ann
R
(
M
)
)
∩
V
(
I
)
.
{\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).}
例
整数について 任意の有限生成モジュールは、アーベル群の基本定理から、その 自由 部分と捩れ部分の直和として完全に分類されます 。すると、有限生成モジュールの消滅は、それが完全に捩れである場合のみ非自明になります。これは、
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Ann
Z
(
Z
⊕
k
)
=
{
0
}
=
(
0
)
{\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)}
それぞれの消滅要素は だけであるからで ある 。例えば、 の消滅要素は である。
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
0
{\displaystyle 0}
Z
/
2
⊕
Z
/
3
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3}
Ann
Z
(
Z
/
2
⊕
Z
/
3
)
=
(
6
)
=
(
lcm
(
2
,
3
)
)
,
{\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),}
によって生成された理想 。実際には、ねじりモジュールの消滅子
(
6
)
{\displaystyle (6)}
M
≅
⨁
i
=
1
n
(
Z
/
a
i
)
⊕
k
i
{\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}}
は、それらの最小公倍数 によって生成されるイデアルと 同型 です 。 これは、消滅子が整数上で簡単に分類できることを示しています。
(
lcm
(
a
1
,
…
,
a
n
)
)
{\displaystyle (\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))}
可換環上 R 実際、 可換環上の任意の 有限提示モジュール に対して同様の計算を行うことができます。 の有限提示性の定義は、 提示と呼ばれる正確なシーケンスが存在することを意味していること
を思い出してください。これは、
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
⊕
l
→
ϕ
R
⊕
k
→
M
→
0
{\displaystyle R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0}
ここで は である 。これを 行列 として明示的に書き表す と次のようになる。
ϕ
{\displaystyle \phi }
Mat
k
,
l
(
R
)
{\displaystyle {\text{Mat}}_{k,l}(R)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
=
[
ϕ
1
,
1
⋯
ϕ
1
,
l
⋮
⋮
ϕ
k
,
1
⋯
ϕ
k
,
l
]
;
{\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,l}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{k,1}&\cdots &\phi _{k,l}\end{bmatrix}};}
したがって 直和分解は
M
{\displaystyle M}
M
=
⨁
i
=
1
k
R
(
ϕ
i
,
1
(
1
)
,
…
,
ϕ
i
,
l
(
1
)
)
{\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}}}
これらの理想をそれぞれ次のように書くと
I
i
=
(
ϕ
i
,
1
(
1
)
,
…
,
ϕ
i
,
l
(
1
)
)
{\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}
すると 、
I
{\displaystyle I}
V
(
I
)
=
⋃
i
=
1
k
V
(
I
i
)
{\displaystyle V(I)=\bigcup _{i=1}^{k}V(I_{i})}
アニヒレーターを紹介します。
以上 け [ x 、 ええ ] 体 の 可換環上では 、加群の消滅子
k
[
x
,
y
]
{\displaystyle k[x,y]}
k
{\displaystyle k}
M
=
k
[
x
,
y
]
(
x
2
−
y
)
⊕
k
[
x
,
y
]
(
y
−
3
)
{\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}
理想によって与えられる
Ann
k
[
x
,
y
]
(
M
)
=
(
(
x
2
−
y
)
(
y
−
3
)
)
.
{\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).}
消滅理想に関する連鎖条件 Sが R のサブセットで ある 形式のイデアルの 格子 は、 包含 によって 部分的に順序付けられている 場合、 完全な格子 です。この格子 (またはその右対応物) が 昇順チェーン条件 または 降順チェーン条件を満たす 環を研究することは興味深いことです 。
ℓ
.
A
n
n
R
(
S
)
{\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)}
R の左消滅イデアルの束を、 R の右消滅イデアルの束を と 表記する 。 が 昇順連鎖条件を満たすのは が降順連鎖条件を満たす 場合のみであり 、 が対称的に 昇順連鎖条件を満たすのは が降順連鎖条件を満たす場合のみであることが知られている 。 どちらかの束がこれらの連鎖条件のいずれかを満たす場合、 R に は無限の直交対冪等集合は存在しない 。 [ 7]
L
A
{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}
R
A
{\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}
L
A
{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}
R
A
{\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}
R
A
{\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}
L
A
{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}
Rが ACCを満たす 環であり、 R Rが 有限 一様次元 を持つ場合 、 Rは左 ゴールディ環 と呼ばれる 。
L
A
{\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}
可換環の圏論的記述 R が可換で Mが R 加群である 場合 、Ann R ( M )を、 Homテンソル付加 に沿った 恒等写像 M → M の 付加 写像によって決定される 作用写像 R → End R ( M )の 核 として記述することができる。
より一般的には、 加群の 双線型写像 が与えられたとき、部分集合の消滅子は 、 を消滅させる すべての要素の集合である 。
F
:
M
×
N
→
P
{\displaystyle F\colon M\times N\to P}
S
⊆
M
{\displaystyle S\subseteq M}
N
{\displaystyle N}
S
{\displaystyle S}
Ann
(
S
)
:=
{
n
∈
N
∣
∀
s
∈
S
:
F
(
s
,
n
)
=
0
}
.
{\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.}
逆に、 が与えられた場合 、 のサブセットとして消滅子を定義することができます 。
T
⊆
N
{\displaystyle T\subseteq N}
M
{\displaystyle M}
消滅子は と のサブセット間の ガロア接続 を与え、関連する 閉包演算子は スパンよりも強力です。特に、
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
アニヒレーターはサブモジュールである
Span
S
≤
Ann
(
Ann
(
S
)
)
{\displaystyle \operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))}
Ann
(
Ann
(
Ann
(
S
)
)
)
=
Ann
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)}
重要な特殊なケースとして、ベクトル空間 上に 非退化形式 、特に 内積 が存在する場合が挙げられます 。この場合、写像に関連付けられた消滅は 直交補写像 と呼ばれます 。
V
×
V
→
K
{\displaystyle V\times V\to K}
環の他の性質との関係 ノイザン 可換環 R 上の 加群 M が与えられたとき、 M の非ゼロ元の消滅子となる R の素イデアルは M の 随伴素数 と呼ばれる 。
D
S
=
⋃
x
∈
S
∖
{
0
}
A
n
n
R
(
x
)
.
{\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.}
(ここではゼロをゼロ除数として扱います。) 特に、 D R は 、 S = R をとり 、 R が左 R 加群として自分自身に作用する R の (左) 零因子の集合です 。 R が可換かつ ノイザン である場合 、その集合は R 加群 R の 関連する素数 の 和集合 と正確に等しくなります 。
D
R
{\displaystyle D_{R}}
参照
注記
^ ピアス（1982）、23ページ。 ^ 証明: a と b が 両方とも S を消滅させる場合、 S 内の各 s について 、 ( a + b ) s = as + bs = 0 であり、 R 内の任意の r について、 ( ra ) s = r ( as ) = r 0 = 0 です。 ^ ピアス（1982）、p.23、補題b、項目（i）。 ^ 「Lemma 10.39.5 (00L2)—The Stacks project」. stacks.math.columbia.edu . 2020年5月13日 閲覧 。 ^ 「Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project」. stacks.math.columbia.edu . 2020年5月13日 閲覧 。 ^ 「Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project」. stacks.math.columbia.edu . 2020年5月13日 閲覧 。 ^ アンダーソン＆フラー 1992年、322ページ。
参考文献 
![{\displaystyle k[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8462ca2b7942a5b5d38beed97662788b27b568a)
![{\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d4eb3d1b928ab12bdb4a77b99b0d4ef531b59c)
![{\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef32b072dfc9ecaddc7dff4df439ba0534002746)
