完全な交差リング

正則な局所環は完全な交差環であるが、その逆は真ではない。${\displaystyle k[x]/(x^{2})}$これは、正則ではない0次元の完全交差環である。

完全交差環ではない局所的に完全な交差環の例を以下に示す。${\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}$これは長さが 3 であり、${\displaystyle k}$ベクトル空間から${\displaystyle k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}}$[ ^{1 ]​}

完全交差局所環はゴレンシュタイン環であるが、その逆は真ではない。環${\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}$は、完全交差環ではない 0 次元のゴレンシュタイン環です。${\displaystyle k}$-ベクトル空間 この環は以下と同型です

${\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}}$、 どこ${\displaystyle R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z}$、 そして${\displaystyle R_{2}=k\cdot z^{2}}$

最上位成分が次元であるため、これはゴレンシュタインであることを示しています${\displaystyle 1}$そしてポアンカレ特性を満たします。理想環は局所的に完全な交差環ではありません。${\displaystyle I\subset R}$ではない${\displaystyle R}$-通常。例えば、${\displaystyle xy}$は零除数である${\displaystyle x}$で${\displaystyle R/(x^{2},y^{2})}$。