必須拡張機能

数学、特に加群理論において、環が与えられた場合${\displaystyle R}$そして${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$サブモジュール付き${\displaystyle N}$モジュール${\displaystyle M}$は、​${\displaystyle N}$（または${\displaystyle N}$は、​​​${\displaystyle M}$）すべてのサブモジュールHに対して${\displaystyle M}$、

${\displaystyle H\cap N=\{0\}\,}$意味するところは${\displaystyle H=\{0\}\,}$

特別なケースとして、左派の本質的な理想は${\displaystyle R}$は左モジュールのサブモジュールとして不可欠な左イデアルである。${\displaystyle _{R}R}$左イデアルは、 の任意の非ゼロ左イデアルと非ゼロの共通部分を持つ。${\displaystyle R}$同様に、本質的右イデアルは、まさに右の本質的部分加群である。${\displaystyle R}$モジュール${\displaystyle R_{R}}$。

必須拡張機能の一般的な表記法には、次の2つの表現が含まれます。

${\displaystyle N\subseteq _{e}M\,}$（ラム 1999 ）および${\displaystyle N\trianglelefteq M}$（アンダーソン＆フラー 1992 ）

必須サブモジュールの双対概念は、余分なサブモジュール（または小さなサブモジュール）の概念です。サブモジュール${\displaystyle N}$他のサブモジュールの場合、不要です${\displaystyle H}$、

${\displaystyle N+H=M\,}$意味するところは${\displaystyle H=M\,}$。

余分なサブモジュールを表す一般的な表記法は以下のとおりです。

${\displaystyle N\subseteq _{s}M\,}$（ラム 1999 ）および${\displaystyle N\ll M}$（アンダーソン＆フラー 1992 ）

以下に、上記の記法で与えられた本質的拡張の基本的な性質をいくつか示します。${\displaystyle M}$モジュールであり、${\displaystyle K}$、${\displaystyle N}$そして${\displaystyle H}$サブモジュールである${\displaystyle M}$と${\displaystyle K\subseteq N}$

• 明らかに${\displaystyle M}$は、${\displaystyle M}$また、非零加群の零部分加群は決して本質的ではない。
• ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$かつその場合に限り${\displaystyle K\subseteq _{e}N}$そして${\displaystyle N\subseteq _{e}M}$
• ${\displaystyle K\cap H\subseteq _{e}M}$かつその場合に限り${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$そして${\displaystyle H\subseteq _{e}M}$

ツォルンの補題を用いると、次の有用な事実を証明できる。任意の部分モジュールに対して${\displaystyle N}$の${\displaystyle M}$サブモジュールが存在する${\displaystyle C}$そのため

${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M}$。

さらに、適切な本質的拡張を持たないモジュール（つまり、あるモジュールが別のモジュールにおいて本質的である場合、そのモジュールと等しいモジュール）は、単射モジュールである。したがって、すべてのモジュールM は、 Mの単射包と呼ばれる最大本質的拡張E ( M )を持つことを証明できる。単射包は必然的に単射モジュールであり、同型を除いて一意である。また、単射包は、 M を含む他の任意の単射モジュールがE ( M )のコピーを含むという意味で最小である。

多くの性質は余分な部分モジュールに双対化されるが、すべてではない。${\displaystyle M}$モジュールであり、${\displaystyle K}$、${\displaystyle N}$そして${\displaystyle H}$サブモジュールである${\displaystyle M}$と${\displaystyle K\subseteq N}$。

• ゼロ部分モジュールは常に余剰であり、非ゼロモジュールは${\displaystyle M}$それ自体は決して無駄ではない。
• ${\displaystyle N\subseteq _{s}M}$かつその場合に限り${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$そして${\displaystyle N/K\subseteq _{s}M/K}$
• ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}M}$かつその場合に限り${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$そして${\displaystyle H\subseteq _{s}M}$。

すべてのモジュールは、その像が単射モジュール（その単射包）に本質的である単射写像によって写像できるため、双対命題が真であるかどうか、つまり、すべてのモジュールMに対して、射影モジュールPと、 PからMへの全射写像で核が余剰であるものが存在するかどうかが問われるかもしれません。（このようなPは射影被覆と呼ばれます）。一般に答えは「いいえ」であり、右モジュールがすべて射影被覆を持つ環の特別なクラスは、右完全環のクラスです。

中山の補題の一形式は、 MがR上の有限生成加群である場合、J( R ) MはMの余剰部分加群であるというものである。

この定義は任意のアーベル圏に一般化できる。${\displaystyle \mathbf {C} }$本質的な拡張は単射である。${\displaystyle u\colon M\to E}$すべての非ゼロ部分オブジェクトに対して${\displaystyle s\colon N\to E}$繊維製品${\displaystyle N\times _{E}M\neq 0}$。

一般的な圏において、射f  : X → Yは、任意の射g  : Y → Zが単射であることとg ° f が単射であることは同値であるとき、本質的である（Porst 1981 、序論）。gをYの恒等射とすると、本質的射f は単射でなければならないことがわかる。

X が単射包Yを持つ場合、YはX の最大本質拡張である( Porst 1981 、序論 ( v ) )。しかし、最大本質拡張は単射包ではないかもしれない。実際、T ₁空間と連続写像のカテゴリーでは、すべてのオブジェクトは一意の最大本質拡張を持つが、複数の要素を持つ空間は単射包を持たない( Hoffmann 1981 )。

• 密なサブモジュールは、必須サブモジュールの特殊なタイプです。

• Anderson, FW; Fuller, KR (1992), Rings and Categories of Modules , Graduate Texts in Mathematics , vol.  13 (2nd  ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• デイビッド・アイゼンバッド著『代数幾何学への展望から見た可換代数』ISBN 0-387-94269-6
• ホフマン、ルドルフ-E. (1981)、「T ₁空間の本質的拡張」、カナダ数学紀要、24 (2): 237–240、doi : 10.4153/CMB-1981-037-1
• ラム、ツィットユエン（1999）、『モジュールと環に関する講義』、大学院数学テキスト第189巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• ミッチェル、バリー（1965）。圏論。純粋および応用数学。第 17巻。アカデミック・プレス。ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787 . 第III.2節
• ポート、ハンス-E. (1981)、「射出エンベロープの特性評価」、Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques、22 ( 4): 399–406