分数の全環

抽象代数学において、全商環^[1]または全分数環^[2]は、整域の分数体の概念を、零因子を持つ可能性のある可換環Rに一般化する構成である。この構成は、R をより大きな環に埋め込み、 Rのすべての非零因子に、より大きな環の逆元を与える。 Rから新しい環への準同型が単射である場合、それ以上の元に逆元を与えることはできない。

を可換環とし、を の零因子でない元の集合とすると、は乗法的に閉じた集合となる。したがって、環を集合 に局所化して全商環 を得ることができる。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}R=Q(R)}$

が定義域である場合、かつ全商環は分数体 と同じになります。これにより、定義域の場合には曖昧さがないため、分数体にも時々使用される表記 が正当化されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S=R-\{0\}}$${\displaystyle Q(R)}$

の構成には零因子が含まれていないので、自然写像は単射であり、したがって全商環は の拡張です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle R\to Q(R)}$${\displaystyle R}$

• 積環 A × Bに対して、全商環Q ( A × B )は全商環Q ( A ) × Q ( B )の積である。特に、AとBが整域である場合、それは商体の積である。

• 複素数の開集合D上の正則関数の環については、 Dが連結でなくても、全商環はD上の有理型関数の環となる。

• アルティン環では、すべての元は単位元または零因子です。したがって、零因子でない集合は環 の単位元の群であり、 となります。しかし、これらすべての元にはすでに逆元があるため、となります。${\displaystyle R^{\times }}$${\displaystyle Q(R)=(R^{\times })^{-1}R}$${\displaystyle Q(R)=R}$

• 可換なフォン・ノイマン正則環Rでも、同じことが起こります。R内のa が零因子でないとします。するとフォン・ノイマン正則環では、R内の任意のxに対してa  =  axaとなり、方程式a ( xa  − 1) = 0が得られます。 a は零因子でないため、xa  = 1 となり、a は単位元であることがわかります。ここでも、 です。${\displaystyle Q(R)=R}$

• 代数幾何学では、スキーム上の全商環の層を考え、これを使用してカルティエ因子の定義を与えることができます。

証明: Q ( A ) のすべての元は、単位因子か零因子のいずれかです。したがって、Q ( A )の任意の適切な イデアル I は、 Q ( A )の零因子の集合に含まれます。この集合は、Q ( A ) が約数であるため、最小素イデアルの和集合に等しくなります。素数回避により、I はいずれかの に含まれていなければなりません。したがって、イデアルはQ ( A )の最大イデアルです。また、それらの交差はゼロです。したがって、 Q ( A )に適用される中国剰余定理により、 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$

${\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i}Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$。

S をAの非零因子の乗法的に閉じた集合とする。局所化の正確さにより、

${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]}$、

これはすでにフィールドなので、 である必要があります。${\displaystyle Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})}$${\displaystyle \square }$

が可換環で が内の任意の乗法的に閉集合である場合、局所化は依然として構成できますが、からへの環準同型は単射にならない可能性があります。たとえば、 の場合、 は自明環です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle S^{-1}R}$