数学 において 、 ヴェルディエ双対性は、 多様体 に対する ポアンカレ双対性 を一般化した 代数位相幾何学 における コホモロジー 双対性である。ヴェルディエ双対性は、代数幾何学 の スキームに対するエタールコホモロジー
における アレクサンダー ・グロタンディークの ポアンカレ双対性 理論の
局所
コンパクト位相空間 の類似物として、 1965年に ジャン＝ルイ・ヴェルディエによって導入された (1965)。したがって、これは (前述のエタール理論や、たとえばグロタンディークの コヒーレント双対性 とともに) グロタンディークの 6 つの演算形式 論 の 1 つの例である 。
ヴェルディエ双対性は、多様体の古典的なポアンカレ双対性を 2 つの方向に一般化します。つまり、ある空間から別の空間への 連続写像 に適用され (多様体から 1 点空間への一意の写像の古典的なケースに還元されます)、特異点の存在により多様体ではなくなる空間に適用されます。これは、 構成可能層 または 倒錯層 を研究するときによく見られます。
ヴェルディエの二重性 ヴェルディエ双対性は、（以下で説明する適切な有限性条件に従って）層の特定の 導 来像関数 が実際には 随伴関数で あることを示します。 2 つのバージョンがあります。
大域的ヴェルディエ双対性は 、局所コンパクトハウスドルフ空間の連続写像に対して 、コンパクト（または適切な）台を持つ直像の導来関手が 層 の
導来カテゴリ に 右随伴を持つことを述べている 。言い換えれば、（アーベル群の）層（の複体）に対して 、 次 が 成り立つ
。
ふ : バツ → はい
{\displaystyle f\colon X\to Y}
R
ふ
！
{\displaystyle Rf_{!}}
ふ
！
{\displaystyle f^{!}}
ふ
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
バツ
{\displaystyle X}
グ
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
はい
{\displaystyle Y}
R H o メートル （ R
ふ
！
ふ
、
グ
） ≅ R H o メートル （
ふ
、
ふ
！
グ
） 。
{\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).}
局所的なヴェルディエ双対性 は、
R
H
o メートル （ R
ふ
！
ふ
、
グ
） ≅ R
ふ
∗
R
H
o メートル （
ふ
、
ふ
！
グ
）
{\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})}
Y 上の層の導来圏において 。大域バージョンと局所バージョンの違いは、前者は導来圏の層の複合体間の射を関連付けるのに対し、後者は内部 Hom 複合体を関連付けるため局所的に評価できることに注意することが重要です。局所ステートメントで両辺の大域セクションを取ると、大域 Verdier 双対性が得られます。
これらの結果は、コンパクトに支えられた直接像関数が有限のコホモロジー次元を持つ ことを条件として成り立ちます。これは、コンパクトに支えられたコホモロジーが
すべてのファイバー (ただし ) およびに対して消えるような 境界がある場合に当てはまります。これは、すべてのファイバーが 最大で - 次元の多様体である場合 、またはより一般的には最大で - 次元の CW 複体 である場合に成り立ちます 。
ふ
！
{\displaystyle f_{!}}
d ∈
いいえ
{\displaystyle d\in \mathbf {N} }
H
c
r
（
バツ
ええ
、
ず
）
{\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )}
バツ
ええ
=
ふ
− 1
（ ええ ）
{\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)}
ええ ∈ はい
{\displaystyle y\in Y}
r > d
{\displaystyle r>d}
バツ
ええ
{\displaystyle X_{y}}
d
{\displaystyle d}
d
{\displaystyle d}
上の議論は、アーベル群の層の導来カテゴリに関するものです。代わりに、環
と - 加群の層 (の導来カテゴリ)を考えることもできます 。上のケースは に対応します
。
あ
{\displaystyle A}
あ
{\displaystyle A}
あ =
ず
{\displaystyle A=\mathbf {Z} }
上の 双対化複体 は 次のように定義される。
D
X
{\displaystyle D_{X}}
X
{\displaystyle X}
ω
X
=
p
!
(
k
)
,
{\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),}
ここで、 p は から 点への写像です 。特異点設定においてヴェルディエ双対性が興味深いのは、 が 多様体 (たとえばグラフや特異代数多様体) でないとき、双対化複体は単一次数に集中した層と準同型ではないからです。この観点から、導来カテゴリは特異点空間の研究に必要です。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
が有限次元局所コンパクト空間であり、 上のアーベル群の層の 有界 導来 圏である場合 、 ヴェルディエ双対は 反変関手 である。
X
{\displaystyle X}
D
b
(
X
)
{\displaystyle D^{b}(X)}
X
{\displaystyle X}
D
:
D
b
(
X
)
→
D
b
(
X
)
{\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}
定義
D
(
F
)
=
R
H
o
m
(
F
,
ω
X
)
.
{\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).}
次の特性があります:
D
2
(
F
)
≅
F
{\displaystyle D^{2}({\mathcal {F}})\cong {\mathcal {F}}}
構成可能なコホモロジーを持つ層の場合。 （関手と の絡み合い ）。 が から へ の連続写像である場合 、同型写像が存在する。
f
∗
{\displaystyle f_{*}}
f
!
{\displaystyle f_{!}}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
D
(
R
f
!
(
F
)
)
≅
R
f
∗
D
(
F
)
{\displaystyle D(Rf_{!}({\mathcal {F}}))\cong Rf_{\ast }D({\mathcal {F}})}
。
古典的なポアンカレ双対性との関係 ポアンカレ双対性は、ヴェルディエ双対性の特殊なケースとして導出できます。ここでは、 層コホモロジー の仕組みを使用して、空間のコホモロジーを明示的に計算します 。
X が コンパクトな向き付け可能な n 次元多様体で、 k が 体であり、 が k に係数を持つ X 上の定数層であると する 。 が点への定数写像であるとする。大域的ヴェルディエ双対性は次のように述べる。
k
X
{\displaystyle k_{X}}
f
=
p
{\displaystyle f=p}
[
R
p
!
k
X
,
k
]
≅
[
k
X
,
p
!
k
]
.
{\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}
この命題からポアンカレ双対性がどのように得られるかを理解するには、両辺を一つずつ理解するのが最も簡単でしょう。
k
X
→
(
I
X
∙
=
I
X
0
→
I
X
1
→
⋯
)
{\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )}
は定数層の単射的解決である。すると、右導来関手に関する標準的な事実により、
R
p
!
k
X
=
p
!
I
X
∙
=
Γ
c
(
X
;
I
X
∙
)
{\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })}
は、コホモロジーがX のコンパクトに支えられたコホモロジーである複体である 。層（またはベクトル空間）の複体間の射自体も複体を形成するので、
H
o
m
∙
(
Γ
c
(
X
;
I
X
∙
)
,
k
)
=
⋯
→
Γ
c
(
X
;
I
X
2
)
∨
→
Γ
c
(
X
;
I
X
1
)
∨
→
Γ
c
(
X
;
I
X
0
)
∨
→
0
{\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0}
ここで、最後の非ゼロ項は次数0で、左側の項は負の次数である。導来カテゴリの射は、層の 鎖複体のホモトピーカテゴリ から複体のゼロ次コホモロジーを取ることによって得られる。すなわち、
[
R
p
!
k
X
,
k
]
≅
H
0
(
H
o
m
∙
(
Γ
c
(
X
;
I
X
∙
)
,
k
)
)
=
H
c
0
(
X
;
k
X
)
∨
.
{\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}
上記のヴェルディエの双対性の主張のもう一方の側面については、 Xが コンパクトな有向 n 次元多様体
であるとき、
p
!
k
=
k
X
[
n
]
,
{\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}
これは多様体の双対複体である。右辺を次のように書き直すことができる。
[
k
X
,
k
X
[
n
]
]
≅
H
n
(
H
o
m
∙
(
k
X
,
k
X
)
)
=
H
n
(
X
;
k
X
)
.
{\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}
我々はついに声明を得た。
H
c
0
(
X
;
k
X
)
∨
≅
H
n
(
X
;
k
X
)
.
{\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}
この議論を繰り返すと、 k層 Xを i 次の同じ層に置き換えて、 古典的なポアンカレ双対性が得られる。
H
c
i
(
X
;
k
X
)
∨
≅
H
n
−
i
(
X
;
k
X
)
.
{\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}
参照
参考文献 ボレル、アルマン （1984）、 交差コホモロジー 、Progress in Mathematics、バーゼル、ボストン、ベルリン：ビルクハウザー、 ISBN 978-0-8176-3274-8 ゲルファント、セルゲイ I. Manin、Yuri Ivanovich (1999)、 ホモロジー代数 、ベルリン: Springer、 ISBN 978-3-540-65378-3 Grothendieck、Alexandre (1977)、 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) 、数学の講義ノート、vol. 589、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、pp. xii+484、 ISBN 978-3-540-08248-4 , Exposé I および II には、エタール状況における対応する理論が含まれています。 Iversen、Birger (1986)、 層のコホモロジー 、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、 doi :10.1007/978-3-642-82783-9、 ISBN 978-3-540-16389-3 、 MR 0842190 柏原 正樹 ; Schapira、Pierre (2002)、 Sheaves on Manifolds 、ベルリン: Springer 、 ISBN 3540518614 Verdier、Jean-Louis (1965)、「Dualité dans la cohomologie des espaces localement Compacts」、Séminaire Bourbaki、vol. 9、パリ: Société Mathématique de France 、pp. Exp. No. 300、337–349、 ISBN 978-2-85629-042-2 、 MR 1610971 
![{\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eefa677160b3b70eb1c27994a12ab333b4166b5)
![{\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3bfbf8449d4b94a0f98942cf26d40c2c408bd9)
![{\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86d7560ceca1094206001e583692e31b3bb9c8b)
![{\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^ {n}(X;k_{X})。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e58bb4637c6ab4433e6d7e73dfb5d7d737f857)
