既約要素

代数学において、整域の既約要素とは、ゼロでない要素であって、可逆でない（つまり、単位元ではない）ものであり、かつ、2つの可逆でない要素の積ではないもののことである。

既約元は因数分解過程の終端元、つまりそれ以上因数分解できない因数です。すべての非零非単位元の既約因数が単位による乗算を除いて一意に定義される場合、その整域は一意因数分解整域と呼ばれますが、一般にすべての整域でそうなる必要はありません。19世紀に、いくつかの数体の整数環は一意因数分解整域ではないことが発見され、したがって、ある既約元は、ある因数分解には現れるが、同じ因数の他の因数分解には現れない可能性があることがわかりました。この事実の無知が、フェルマーの主張からワイルズによるフェルマーの最終定理の証明までの3世紀の間に与えられた、フェルマーの最終定理の多くの誤った証明の主な誤りです。

もし${\displaystyle R}$は整域である。${\displaystyle a}$は還元不可能な要素である${\displaystyle R}$すべての${\displaystyle b,c\in R}$方程式${\displaystyle a=bc}$によって生成されるイデアルは${\displaystyle a}$は、によって生成されるイデアルに等しい。${\displaystyle b}$または、によって生成されるイデアルに等しい${\displaystyle c}$この同値性は一般的な可換環では成り立たないため、既約要素の定義では環に非零の零因子がないという仮定が一般的に用いられます。また、既約要素の定義を任意の可換環に拡張する方法がいくつかあることもわかります。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle R}$整数領域である。要素${\displaystyle a\in R}$単位でない場合、既約であり、${\displaystyle a=bc}$、 どちらか${\displaystyle b}$または${\displaystyle c}$単位です。

アンダーソンとバルデス＝レオンは1996年に任意の可換環（零因子を持つ可能性あり）における既約元を定義しました。彼らは、異なる条件に基づいて、元を非常に強く既約、m-既約、強く既約、既約（強さの降順）と定義しました。${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$（定理2.13）^{[ 1 ]}すべての定義は${\displaystyle a}$単位ではない。^{[ 1 ]}それらの非常に強い既約性は上記の定義に対応する。m-既約の条件は、${\displaystyle a=bc}$、${\displaystyle (b)=(1)}$または${\displaystyle (b)=(a)}$条件は、常に${\displaystyle a=bc}$、${\displaystyle a}$は以下と同等です${\displaystyle b}$または${\displaystyle c}$単位による乗算まで。最後に、それらの既約は、いつでも${\displaystyle a=bc}$、 どちらか${\displaystyle (a)=(b)}$または${\displaystyle (a)=(c)}$[ ^{1 ]​}

既約元は素元と混同してはならない。（ゼロでない非単位元）${\displaystyle a}$可換環において${\displaystyle R}$素数と呼ばれるのは、${\displaystyle a\mid bc}$一部の人にとって${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$で${\displaystyle R,}$それから${\displaystyle a\mid b}$または${\displaystyle a\mid c.}$）整域では、すべての素元は既約であるが、^{[ a ] [ 2 ]}一般にはその逆は成り立たない。一意因数分解領域^{[ 2 ]} (または、より一般的には、GCD 領域) ではその逆が成り立つ。

さらに、素元によって生成されるイデアルは素イデアルであるが、一般に既約元によって生成されるイデアルが既約イデアルであるとは限らない。ただし、${\displaystyle D}$GCDドメインであり、${\displaystyle x}$は還元不可能な要素である${\displaystyle D}$そして、上記のとおり${\displaystyle x}$は素数であり、したがって、によって生成されるイデアルは${\displaystyle x}$は素イデアル（したがって還元不可能なイデアル）である${\displaystyle D}$。

二次整数環において${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$ノルムの議論を用いると、数 3 は既約であることが示せる。しかし、例えば、この環では 3 は素元ではない。

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

しかし、3 はどちらの因数も割り切れません。^{[ 3 ]}

• 既約多項式