環の根号

まず、零根基はすべての素イデアルに含まれています。実際、${\displaystyle a\in {\mathfrak {N}}_{R},}$1つは${\displaystyle a^{n}=0}$ある正の整数に対して${\displaystyle n.}$すべてのイデアルは 0 を含み、積を含むすべての素イデアルは、${\displaystyle a^{n}=0,}$その素因数の一つを含むことから、すべての素イデアルが${\displaystyle a.}$

逆に、${\displaystyle f\notin {\mathfrak {N}}_{R};}$素イデアルが存在し、${\displaystyle f.}$集合を考える${\displaystyle \Sigma }$力を一切含まないすべての理想${\displaystyle f.}$1つは${\displaystyle (0)\in \Sigma ,}$定義により、零根号。すべての鎖について${\displaystyle J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \dots }$理想の${\displaystyle \Sigma ,}$組合を確認するのは簡単です${\textstyle J=\bigcup _{i\geq 1}J_{i}}$理想である。さらに、${\displaystyle J}$に属する${\displaystyle \Sigma ,}$そうでなければ、${\displaystyle f,}$それは何かに属していなければならない${\displaystyle J_{i},}$定義に反して${\displaystyle J_{i}.}$

それで、${\displaystyle \Sigma }$は、集合包含による（空でない）部分順序集合であり、すべての鎖が${\displaystyle \Sigma }$上限は​${\displaystyle \Sigma }$したがって、ツォルンの補題が適用され、最大要素が存在する。$\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \Sigma }$私たちはそれを証明しなければならない${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$素イデアルである。素イデアルでなければ、2つの要素が存在する。${\displaystyle g\in R}$そして${\displaystyle h\in R}$そのため${\displaystyle g\notin {\mathfrak {m}},}$${\displaystyle h\notin {\mathfrak {m}},}$そして${\displaystyle gh\in {\mathfrak {m}}}$最大化によって${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$1つは${\displaystyle {\mathfrak {m}}+(g)\notin \Sigma }$そして${\displaystyle {\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma .}$したがって、正の整数が存在する${\displaystyle r}$そして${\displaystyle s}$そのため${\displaystyle f^{r}\in {\mathfrak {m}}+(g)}$そして${\displaystyle f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h).}$したがって、${\displaystyle f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m}},}$事実と矛盾する${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$は${\displaystyle \Sigma }$これで証明は完了です。なぜなら、素イデアルが存在し、それが を含まないことを証明したからです。${\displaystyle f.}$