ヤコビアン理想

数学において、ヤコビアンイデアルまたは勾配イデアルは、関数または関数胚のヤコビアンによって生成されるイデアルです。は変数の滑らかな関数の環、 は環内の関数を表します。 のヤコビアンイデアルは ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .}$

変形理論では、多項式によって与えられた超曲面の変形は環によって分類されます。これは小平-スペンサー写像 を使用して示されます。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f)+J_{f}}}.}$$

ホッジ理論には、実ベクトル空間のデータと互換性構造のリストを満たす増加フィルタリングである実ホッジ構造と呼ばれるオブジェクトがあります。滑らかな射影多様体には、標準ホッジ構造があります。 ${\displaystyle H_{\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle F^{\bullet}}$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle X}$

が同次次多項式によって定義される特別なケースでは、このホッジ構造はヤコビアン イデアルから完全に理解できます。次数付きピースについては、これは原始コホモロジー上の射影的なマップ^[1]によって与えられ、核 を持ちます。原始コホモロジー類はから来ない の類であり、これはまさにレフシェッツ類 であることに注意してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))}$$${\displaystyle \mathbb {C} [Z_{0},\ldots ,Z_{n}]^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}}$$${\displaystyle {\text{Prim}}^{p,n-p}(X)}$${\displaystyle J_{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle [L]^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}}$

というのは、複体の関連する短完全列 が存在し、ここで中央の複体は対数形式の層の複体であり、右側の写像は留数写像である。これは、コホモロジーにおける関連する長完全列を持つ。レフシェッツ超平面定理から、の興味深いコホモロジー群は 1 つだけ存在し、それは である。この短完全列の長完全列から、右辺が に等しく、 と同型である誘導留数写像 が存在する。また、同型 が存在する。これらの同型を通して、誘導留数写像 が存在し、これは単射であり、原始コホモロジー上で全射である。また、ホッジ分解および が存在する。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$$${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }[-1]\to 0}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}$$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])}$$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}$$${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)}$$$${\displaystyle res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )}$$$${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))}$$${\displaystyle H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)}$

では、ド・ラーム・コホモロジー群の方がはるかに扱いやすく、多項式で明示的に記述できることがわかります。 部分は、の部分に射影される位数の極を持つ有理型形式によって張られます。 これは、簡約同型から来ています。の標準-形式 (ここで はインデックスからの削除を表す) を使用すると、これらの有理型微分形式は次のようになります。 ここで、 最終的に、核^{[1]補題 8.11 は}の形式のすべての多項式であることがわかります。 ここで、オイラー恒等式はを示しています。 ${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle \leq n-p+1}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle {\text{Prim}}^{n}(X)}$$${\displaystyle F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}}$$${\displaystyle (n+1)}$$${\displaystyle \Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle {\hat {dZ_{j}}}}$$${\displaystyle {\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A'+fB}$${\displaystyle A'\in J_{f}}$$${\displaystyle f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}}$$${\displaystyle f\in J_{f}}$

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