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数学において、可換代数の分野におけるタイト閉包は、正の特性のイデアル上で定義される演算である。これは、メルビン・ホクスターとクレイグ・フネケ (1988、1990) によって導入された。

を特性 の体を含む可換ネーター環とします。したがって は素数です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle p}$

を のイデアルとします。 の緊密閉包はと表記され、を含むの別のイデアルです。 このイデアルは次のように定義されます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{*}}$

${\displaystyle z\in I^{*}}$が存在するとき、かつそのときに限り、はのいかなる極小素イデアルにも含まれず、すべての に対してとなる。が約数化されている場合、代わりにすべての を考えることができます。${\displaystyle c\in R}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R}$${\displaystyle cz^{p^{e}}\in I^{[p^{e}]}}$${\displaystyle e\gg 0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle e>0}$

ここでは の元の 乗によって生成されるのイデアルを表すために使用され、の フロベニウス乗と呼ばれます。 ${\displaystyle I^{[p^{e}]}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p^{e}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle e}$${\displaystyle I}$

イデアルは、 のとき、密に閉じていると呼ばれます。すべてのイデアルが密に閉じている環は、弱-正則 (フロベニウス正則の場合) と呼ばれます。密閉包におけるこれまでの大きな未解決の問題は、密閉包の操作が局所化と可換であるかどうかであり、そのため、環のすべてのイデアルは環の局所化でも密に閉じているという -正則という追加の概念があります。 ${\displaystyle I=I^{*}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Brenner & Monsky (2010) は、タイト閉包の局所化特性に対する反例を発見しました。しかし、すべての弱- 正則環が- 正則であるかどうかという未解決の問題が残っています。つまり、環のすべてのイデアルがタイト閉包である場合、その環のすべての局所化のすべてのイデアルもタイト閉包であるというのは本当でしょうか? ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

• ブレンナー、ホルガー、モンスキー、ポール (2010)、「タイト閉包は局所化と可換ではない」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、171 (1): 571–588、arXiv : 0710.2913、doi :10.4007/annals.2010.171.571、ISSN  0003-486X、MR  2630050
• ホクスター、メルビン、フネケ、クレイグ (1988)、「密に閉じた理想」、アメリカ数学会報、新シリーズ、18 (1): 45–48、doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15592-9、ISSN  0002-9904、MR  0919658
• ホクスター、メルビン、フネケ、クレイグ (1990)、「タイト閉包、不変理論、およびブリアンソン・スコダ定理」、アメリカ数学会誌、3 (1): 31–116、doi :10.2307/1990984、ISSN  0894-0347、JSTOR  1990984、MR  1017784