合同理想

代数学において、可換環の射影環準同型f :  B  →  C の合同イデアルは、 fの 核の消滅子のfによる像である。

Bがヘッケ代数であり、f がモジュラー形式に対応する準同型であるとき、合同イデアルはfのモジュラー形式と他のモジュラー形式 との間の合同を記述するため、合同イデアルと呼ばれます。

• CとD が環Eへの準同型を持つ環であるとし、B = C × _E Dが、 C × Dのペア ( c、d )の部分環によって与えられる引き戻しであるとします。ここで、 cとd はEに同じ像を持ちます。f がBからCへの自然な射影である場合、核は元 (0、d )のイデアルJであり、 d はEに像 0 を持ちます。J がDに消滅子 0 を持つ場合、Bにおけるその消滅子は、 CからEへの写像の核Iです。したがって、 fの合同イデアルはBのイデアル ( I、0)です。
• B がレベル 1 で重み 12 のモジュラー形式の 2 次元空間に作用するHecke 演算子T _nによって生成されるHecke 代数であるとします。この空間は 2 次元で、アイゼンシュタイン級数E ₁₂とモジュラー判別式Δ によって与えられる固有形式によって張られます。Hecke 演算子T _{n を}その固有値 (σ ₁₁ ( n ),τ( n )) に写像すると、 Bから環Z × Zへの準同型写像が得られます(ここで、 τ はラマヌジャンのタウ関数、 σ ₁₁ ( n ) はnの約数の 11 乗の合計です)。この像は、ラマヌジャンの合同 σ ₁₁ ( n ) ≡ τ( n ) mod 691 により、cとdがmod 619 で合同となる ( c , d ) のペアの集合である。 f がZにおいてcに ( c , d ) をとる準同型写像である場合、合同イデアルは (691) である。したがって、合同イデアルは形式 E ₁₂と Δ の間の合同性を記述する。

• Lenstra, HW (1995)、「完全交差とゴレンシュタイン環」、Coates, John (編)、『楕円曲線、モジュラー形式、フェルマーの最終定理』（香港、1993 年）、Ser. Number Theory, I、Int. Press、ケンブリッジ、MA、pp. 99–109、ISBN 1-57146-026-8、MR  1363497、Zbl  0860.13012