リース代数

可換代数において、可換環RのイデアルIのリース代数またはリース環は次のように定義される。

${\displaystyle R[It]=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t].}$

Iの拡張リース代数 （一部の著者^[1]はIのリース代数と呼んでいる）は次のように定義される。

${\displaystyle R[It,t^{-1}]=\bigoplus _{n=-\infty }^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t,t^{-1}].}$

この構成は代数幾何学において特に興味深い。なぜなら、環内のイデアルのリース代数によって定義される射影スキームは、イデアルによって定義される部分スキームに沿った環のスペクトルの拡大であるからである。 ^[2]

リース代数は 上の代数であり、Rの任意の可逆元λに対してt=λで割ると、次式が得られるように定義される。${\displaystyle \mathbb {Z} [t^{-1}]}$${\displaystyle t^{-1}=0}$

${\displaystyle {\text{gr}}_{I}R\ \leftarrow \ R[It]\ \to \ R.}$

したがって、 Rとそれに関連する次数付きリングgr _I Rの間を補間します。

• R がネーターであると仮定すると、R[It]もネーターになります。リース代数のクルル次元は、 I が を満たすどの素イデアルPにも含まれない場合、 です。それ以外の場合は です。拡張リース代数のクルル次元は です。^[3]${\displaystyle \dim R[It]=\dim R+1}$${\displaystyle \dim(R/P)=\dim R}$${\displaystyle \dim R[It]=\dim R}$${\displaystyle \dim R[It,t^{-1}]=\dim R+1}$
• がノイマン環Rのイデアルである場合、環拡大が整式となるのはJがIの縮小である場合に限ります。^[3]${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle R[Jt]\subseteq R[It]}$
• I がノイザン環Rのイデアルである場合、 Iのリース代数はIの対称代数をその捩れ部分加群で割った商です。

Iの関連する次数環は 次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=R[It]/IR[It].}$

R が最大イデアルを持つネーター局所環である場合、 Iの特殊ファイバー環は次のように与えられる。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]/{\mathfrak {m}}R[It].}$

特殊ファイバーリングのクルル次元は、Iの解析的広がりと呼ばれます。

• Weisstein, Eric W.「Rees Ring」。MathWorld 。 2024年8月31日閲覧。
• モジュールのリース代数とは何ですか?
• リース代数の背後にある幾何学（通常の円錐への変形）