完全に不可分な拡張

代数学において、純粋に分離不可能な体の拡大とは、標数p > 0の体の拡大k ⊆ Kであって、 Kのすべての要素がx ^q = aの形の方程式の根となるような拡大のことである。ここでqはpのべき乗であり、a はkの要素である。純粋に分離不可能な拡大は、根基拡大と呼ばれることもあるが、これは似たような響きだがより一般的な概念である根基拡大と混同してはならない。      

代数的拡張${\displaystyle E\supseteq F}$は、すべての に対して が成り立つ場合に限り、純粋に分離不可能な拡張である。${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$最小多項式​${\displaystyle \alpha }$F上の拡大は分離多項式ではない。^{[ 1 ]} Fが任意の体である場合、自明な拡大${\displaystyle F\supseteq F}$純粋に分離不可能である。体F が非自明な純粋に分離不可能な拡大を持つためには、上記の節で概説したように不完全でなければならない。

純粋に不可分な拡張という概念には、同等かつより具体的な定義がいくつか知られている。${\displaystyle E\supseteq F}$が (ゼロでない) 素数特性pを持つ代数的拡大である場合、以下は同値である: ^{[ 2 ]}

1. EはF上で純粋に分離不可能である。
2. 各要素について${\displaystyle \alpha \in E}$存在する${\displaystyle n\geq 0}$そのため${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$。
3. Eの各要素は、F上の最小多項式を持ち、その形式は次のようになります。${\displaystyle X^{p^{n}}-a}$ある整数に対して${\displaystyle n\geq 0}$そしていくつかの要素${\displaystyle a\in F}$。

上記の同等な特徴付けから、もし${\displaystyle E=F[\alpha ]}$（素標数の体Fに対して）${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$ある整数に対して${\displaystyle n\geq 0}$すると、EはF上で純粋に分離不可能となる。^{[ 3 ]} (これを確認するには、すべてのxの集合が次のようになることに注意する。${\displaystyle x^{p^{n}}\in F}$一部の人にとって${\displaystyle n\geq 0}$フィールドを形成します。このフィールドには両方が含まれているため${\displaystyle \alpha }$そしてF の場合、それはEでなければならず、上記の条件 2 により、${\displaystyle E\supseteq F}$完全に不可分でなければならない。）

Fが素標数pの不完全体である場合、${\displaystyle a\in F}$a がFのp乗でないと仮定し、f ( X ) = X ^p − aとする。するとf はFに根を持たないので、EがF上のfの分解体であれば、    ${\displaystyle \alpha }$と${\displaystyle f(\alpha )=0}$。 特に、${\displaystyle \alpha ^{p}=a}$そして、すぐ上の段落で述べた性質により、次のことが導かれる。${\displaystyle F[\alpha ]\supseteq F}$は非自明な純粋に分離不可能な拡張である（実際には、${\displaystyle E=F[\alpha ]}$、 など${\displaystyle E\supseteq F}$は自動的に純粋に不可分な拡張となる）。^{[ 4 ]}

純粋に分離不可能な拡大は自然に発生します。例えば、素数標数の体上の代数幾何学においてです。Kが標数pの体であり、V がK上の次元がゼロより大きい代数多様体である場合、関数体K ( V ) は、 p乗の部分体K ( V ) ^p上の純粋に分離不可能な拡大です(これは上記の条件 2 から導かれます)。このような拡大は、標数pの有限体上の楕円曲線上のpによる乗算の文脈で発生します。

ジェイコブソン( 1937、1944 )は、指数 1 の純粋に分離不可能な拡大に対するガロア理論の変種を導入しました。これは、ガロア理論における体自己同型のガロア群を、導出の制限付きリー代数に置き換えたものです。最も単純なケースは、指数が最大 1 の有限指数純粋に分離不可能な拡大K ⊆ Lの場合です ( Lのすべての要素のp乗がKに含まれることを意味します)。この場合、LのK導出のリー代数は、 L上のn次元のベクトル空間でもある制限付きリー代数であり、[ L : K ] = p ⁿであり、 Kを含むLの中間体は、このリー代数の制限付きリー部分代数に対応し、L上のベクトル空間となります。導出のリー代数はL上のベクトル空間ですが、一般にはL上のリー代数ではなく、次元n [ L : K ] = np ⁿのK上のリー代数です。     

純粋に分離不可能な拡張は、単純拡張のテンソル積である場合、モジュラー拡張と呼ばれます。したがって、特に指数 1 のすべての拡張はモジュラーですが、指数 2 の非モジュラー拡張があります( Weisfeld 1965 )。Sweedler (1968)とGerstenhaber & Zaromp (1970)は、ガロア対応をモジュラー純粋に分離不可能な拡張に拡張し、導関数を高次の導関数に置き換えました。

• ヤコブソン・ブルバキの定理

• Gerstenhaber, Murray ; Zaromp, Avigdor (1970)、「純粋に分離不可能な体拡張のガロア理論について」、Bulletin of the American Mathematical Society、76 (5): 1011–1014、doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12535-6、ISSN 0002-9904、MR 0266904  
• Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, a graduate course (1st  ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• ジェイコブソン、ネイサン（1937）「抽象導出とリー代数」、アメリカ数学会紀要、42（2）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会：206–224、doi：10.2307/1989656、ISSN 0002-9947、JSTOR 1989656  
• ジェイコブソン、ネイサン（1944）、「指数1の純粋に分離不可能な体のガロア理論」、アメリカ数学ジャーナル、66（4）：645–648、doi：10.2307/2371772、ISSN 0002-9327、JSTOR 2371772、MR 0011079   
• Sweedler、Moss Eisenberg (1968)、「分離不可能な拡張の構造」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、87 (3): 401–410、doi : 10.2307/1970711、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970711、MR 0223343   
• Weisfeld, Morris (1965)、「純粋に分離不可能な拡張と高次の導関数」、アメリカ数学会紀要、116 : 435–449、doi : 10.2307/1994126、ISSN 0002-9947、JSTOR 1994126、MR 0191895