有限生成代数

数学において、有限生成代数（有限型代数とも呼ばれる）は、 の元の有限集合が存在し、のすべての元が の係数を持つの多項式として表現できるような体上の可換 結合代数 です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle K}$

同様に、評価準同型が${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

は全射である。したがって、第一同型定理を適用すると、となる。 ${\displaystyle A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$

逆に、任意のイデアルに対して は有限型の -代数であり、実際に の任意の元はの係数を持つ剰余類の多項式である。したがって、有限生成-代数の次の特徴付けが得られる^[1]。${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle A}$が有限生成-代数であるための必要十分条件は、それが-代数としてイデアルによる型の商環に同型である場合である。${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}]/I}$${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$

体K を強調する必要がある場合、代数はK上で有限生成であると言われます。有限生成ではない代数は無限生成と呼ばれます。

• 多項式代数 は有限生成されます。可算無限個の生成元における多項式代数は無限生成されます。${\displaystyle K[x_{1},\dots,x_{n}]}$
• 無限体上の 1 変数の有理関数の体 は、 上の有限生成代数ではありません。一方、 は、単一の要素 によって、体として上に生成されます。${\displaystyle E=K(t)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle t}$
• が有限体拡大である場合、定義から は上の有限生成代数であることがわかります。${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$
• 逆に、 が体拡大で が上の有限生成代数である場合、体拡大は有限です。これはザリスキの補題と呼ばれます。積分拡大も参照してください。${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$
• が有限生成群である場合、群代数は 上の有限生成代数です。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle KG}$${\displaystyle K}$

• 有限生成代数の準同型 像は、それ自体が有限生成である。しかし、部分代数に対する同様の性質は一般には成立しない。
• ヒルベルトの基底定理: Aがネーター環上の有限生成可換代数である場合、Aのすべてのイデアルは有限生成であり、または同等に、Aはネーター環です。

有限生成の縮小 可換代数は、現代代数幾何学における基本的な考察対象であり、アフィン代数多様体に対応する。このため、これらの代数は（可換）アフィン代数とも呼ばれる。より正確には、アフィン代数集合が与えられた場合、有限生成-代数 を関連付けることができる。${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

は のアフィン座標環と呼ばれる。さらに、 がアフィン代数集合との間の正則写像である場合、 -代数 の準同型を定義することができる。${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi \colon V\to W}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi , }$

は、正則写像を持つアフィン代数集合の圏から、縮約された有限生成 -代数の圏への反変関手である。この関手は、^[2]で、次の圏の同値であることがわかった。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{アフィン代数集合}})^{\rm {opp}}\to ({\text{縮小された有限生成K{\text{-代数}}),}$

そして、アフィン多様体（すなわち、既約アフィン代数集合）に限定すると、

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

可換代数は環準同型であることを思い出してください。の-モジュール構造は次のように定義されます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi \colon R\to A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

-代数は、-加群として有限生成である場合、つまり、 -加群 の射影準同型が存在する場合、有限と呼ばれる。${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

また、有限代数は商によって特徴付けられる^[3]

-代数が有限であるためには、 -部分加群による商に同型である必要があります。${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\subseteq R}$

定義により、有限- 代数は有限型ですが、その逆は偽です。つまり、多項式環は有限型ですが有限ではありません。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$

有限代数と有限型の代数は、有限射と有限型の射の概念に関連しています。

• 有限生成モジュール
• 有限生成体の拡張
• アルティン・テイトの補題
• 有限代数
• 有限型の射影