分岐グループ

数論、より具体的には局所類体理論において、分岐群は局所体拡大のガロア群のフィルタリングであり、拡大の 分岐現象に関する詳細な情報を与えます。

数学において、付値の分岐理論は、体Kの付値vからKの拡大Lへの拡大の集合を研究する。これはデデキント整域の分岐理論の一般化である。^{[1] [2]}

L / Kがガロアの場合、拡大集合の構造はよりよく分かります。

( K ,  v ) を値体とし、L をKの有限 ガロア拡大とする。S _{v を}vのLへの拡大の同値類の集合とし、G をK上のLのガロア群とする。すると、G はS _vにσ[ w ] = [ w  ∘ σ] によって作用する（すなわち、wは同値類 [ w ] ∈  S _vの代表であり、[ w ] は自己同型σ : L → Lを持つwの合成の同値類に送られる。これは [ w ]におけるwの選択とは無関係である）。実際、この作用は推移的である。

vからLへの固定された拡張wが与えられた場合、wの分解群は[ w ] の安定化部分群G _w、すなわち、同値類 [ w ] ∈  S _vを固定するすべての要素からなるGの部分群です。

m _{w は}wの付値環R _w内のwの極大イデアルを表すものとする。wの慣性群は、 R _wのすべてのxに対して σ x  ≡  x  (mod  m _w )となるような元σからなるG _wの部分群I _wである。言い換えれば、I _{w は}wの剰余体に自明に作用する分解群の元からなる。これはG _wの正規部分群である。

縮小分岐指数 e ( w / v ) はwに依存せず、 e ( v )と表記される。同様に、相対次数 f ( w / v ) もwに依存せず、 f ( v )と表記される。

分岐群は、局所体の有限ガロア拡大のガロア群の改良である 。の付値、整数環、および に対するその最大イデアルを と書く。ヘンゼルの補題の結果として、が の整数環であるとき、を と書くことができる。^[3]（これは原始元定理よりも強い。）次に、各整数 に対して、が次の同値な条件を満たす すべての集合であると定義する。${\displaystyle G}$${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$${\displaystyle \alpha \in L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle i\geq -1}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle s\in G}$

• (i)は、${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• （ii）すべての${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• （iii）${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

このグループは- 番目の分岐グループと呼ばれます。これらは減少する濾過を形成します。 ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

実際、 (i) により は正規であり、 (iii) により が十分に大きい場合 は自明である。最低の指数については、素イデアルの分割との関係から の慣性部分群と呼ぶのが通例であるのに対し、のワイルド慣性部分群 はである。商はtame 商と呼ばれる。 ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$

ガロア群とその部分群は、上記のフィルタリング、より具体的には対応する商を用いて研究される。特に、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{i}}$

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$ここで はの（有限）剰余体である 。^[4]${\displaystyle l,k}$${\displaystyle L,K}$
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$は分岐しません。
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$は従順に分岐している（つまり、分岐指数は留数特性と素数である）。

分岐群の研究は、 に対して となるため、全分岐の場合に帰着します。 ${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$${\displaystyle i\geq 0}$

また、関数 も定義されます。 (ii) 上記の式はの選択とは無関係であり、さらに、濾過の研究は の研究と本質的に同等であることを示しています。^{[5] は}に対して以下を満たします。 ${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$${\displaystyle i_{G}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle i_{G}}$${\displaystyle s,t\in G}$

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

の均一化子を固定します。すると、 の射影が誘導されます。(この写像は実際には均一化子の選択に依存しません。^[6] ) このことから、^[7]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L}$${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$は、次の順序で素数巡回する。${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$は、順序 の巡回群の積です。${\displaystyle p}$

特に、はp群であり、 は解けます。 ${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{0}}$

分岐群は拡大と部分拡大の差 を計算するために使用できる: ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

が の正規部分群である場合、 に対して となる。[ ^9]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$

これを上記と組み合わせると、次の式が得られる。に対応する部分拡張に対して、 ${\displaystyle F/K}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

もしならば。^[10]ラザードの用語では、これはリー代数がアーベル的であることを意味すると理解できる。 ${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

円分拡大 （ は単位元の - 乗根）の分岐群は、明示的に記述できる。^[11]${\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle G_{s}=\operatorname {Gal} (K_{n}/K_{e}),}$

ここでe はとなるように選ばれます。 ${\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}$

Kを によって生成されたQ ₂の拡大とします。 の共役は、、です。 ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle x_{3}=-x_{1}}$${\displaystyle x_{4}=-x_{2}}$

少し計算してみると、これらのうちの任意の 2 つの商は単位であることがわかります。したがって、これらはすべて同じイデアルを生成します。これをπと呼びます。π ²を生成します。(2)= π ⁴です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

さて、これはπ ⁵です。 ${\displaystyle x_{1}-x_{3}=2x_{1}}$

そしてこれはπ ³に属します。 ${\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}},}$

さまざまな方法により、 Kのガロア群は、位数 4 の巡回群で あることが示されています。また、${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.}$

そして${\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24).}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,}$異なる${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}$

${\displaystyle x_{1}}$X ⁴ − 4 X ² + 2を満たし、判別式は 2048 = 2 ¹¹となる。

が実数である場合、i が最小の整数を表すものとする。言い換えると、^[12]で定義される。${\displaystyle u}$${\displaystyle \geq -1}$${\displaystyle G_{u}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \geq u}$${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

ここで慣例により、 はの場合には に等しく、 はの場合には に等しい。^[13] すると の場合にはとなる。 が連続かつ厳密に増加することが即値であり、したがって上で定義された連続逆関数を持つ。を定義する 。 は上付き番号付けにおけるv番目の分岐群と呼ばれる。言い換えると、 となる。注意。上付き番号付けは商への遷移と互換性を持つように定義される。^[14]が で正規である場合、 ${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$${\displaystyle t=-1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1<t\leq 0}$${\displaystyle \phi (u)=u}$${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle [-1,\infty )}$${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$${\displaystyle G^{v}}$${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$全ての${\displaystyle v}$

(一方、番号が小さい場合はサブグループへの移行と互換性があります。)

エルブランの定理によれば、下位番号の分岐群は（はに対応する部分拡大である）を満たし、上位番号の分岐群は を満たす。^{[15] [16]これにより、有限部分拡大の分岐群の逆システムから、無限ガロア拡大（局所体の}絶対ガロア群 など）の上位番号の分岐群を定義することができる。 ${\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}$${\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}$${\displaystyle L/F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}$

アーベル拡大の上限の番号付けはハッセ・アルフ定理のために重要である。ハッセ・アルフ定理は、がアーベルである場合、フィルタリングにおけるジャンプは整数である、つまり、が整数でない場合は常に整数である、ということを述べている。[ 17 ^]${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{v}}$${\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}$${\displaystyle \phi (i)}$

上の番号は、アルティン同型の下での単位群によるノルム留数群の濾過と互換性がある。同型の下で の の画像${\displaystyle G^{n}(L/K)}$

${\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}$

はちょうど^[18]

${\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .}$

• 局所体の有限拡張

• B. コンラッド、数学 248A. 高次分岐群
• Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991).代数的数論. Cambridge studies in advanced mathematical. 第27巻. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X.ZBL0744.11001  。​
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1967)。「VI. 局所類体理論」。Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (編)。代数的数論。国際数学連合の支援を受けてロンドン数学協会 (NATO 先端研究機関) が主催した教育会議の議事録。ロンドン: Academic Press。pp. 128–161。Zbl 0153.07403  。
• セール、ジャン＝ピエール（1979）。局所場。数学の大学院テキスト。第67巻。グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ訳。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90424-7. MR  0554237. Zbl  0423.12016.
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