注入モジュール

自明なことに、ゼロモジュール${\displaystyle \{0\}}$単射である。

与えられたフィールド${\displaystyle k}$、 毎${\displaystyle k}$-ベクトル空間${\displaystyle Q}$単射である${\displaystyle k}$-モジュール。理由:${\displaystyle Q}$は の部分空間である${\displaystyle V}$基礎を見つけることができる${\displaystyle Q}$そしてそれを基礎に拡張する${\displaystyle V}$新しい拡張基底ベクトルは部分空間を張る${\displaystyle K}$の${\displaystyle V}$そして${\displaystyle V}$は内部直接和です${\displaystyle Q}$そして${\displaystyle K}$直接補数は${\displaystyle K}$の${\displaystyle Q}$は一意に決定されない${\displaystyle Q}$拡張マップも同様${\displaystyle h}$上記の定義におけるは、通常は一意ではない。

理屈${\displaystyle \mathbb {Q} }$（追加により）単射アーベル群（つまり単射アーベル群）を形成する${\displaystyle \mathbb {Z} }$-モジュール)。因子グループ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$また、円群も単射である${\displaystyle \mathbb {Z} }$-モジュール。因子群${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$のために${\displaystyle n>1}$単射である${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$加群ではあるが、アーベル群としては単射ではない。

より一般的には、分数体Kを持つ任意の整域Rに対して、R加群Kは単射R加群であり、実際、 Rを含む最小の単射R加群である。任意のデデキント整域に対して、商加群K / Rも単射であり、その既約和因子は局所化である。${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$非ゼロの素イデアルの場合${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$零イデアルも素イデアルであり、単射Kに対応する。このように、素イデアルと分解不可能な単射加群の間には1対1の対応関係が存在する。

可換ネーター環については、Eben Matlis ( Lam 1999 , §3I)による特に豊かな理論が存在する。すべての単射加群は一意的に既約単射加群の直和であり、既約単射加群は環の素スペクトル上で変化するPの商R / Pの単射包として一意的に識別される。R 加群としてのR / Pの単射包は標準的に R P 加群であり、_R / P の R P 単射包である。言い換えれば、_局所環を考察すれば十分である。R / Pの単射包の自己準同型環は完備化である。${\displaystyle {\hat {R}}_{P}}$PにおけるRの。^{[ 1 ]}

2 つの例として、 Z加群Z / p Z (プリューファー群)の単射包と、k [ x ] 加群k (逆多項式の環) の単射包が挙げられます。後者は、k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ] と簡単に記述できます。この加群は、「逆単項式」、つまりn = 0, 1, 2, …に対してx ^{− n}からなる基底を持ちます。スカラーによる乗算は予想どおりで、xによる乗算は、 x ·1 = 0を除いて通常どおりの振る舞いをします。自己準同型環は、形式的冪級数の環です。

Gが有限群で、k が標数0の体である場合、群表現の理論では、与えられた表現の任意の部分表現は、既に与えられた表現の直和因子であることが示されます。これを加群の言葉で言い換えると、群代数kG上のすべての加群は単射であるということです。kの標数が0 でない場合、次の例が参考になるかもしれません。

A が体k上の有限次元の単位的結合代数である場合、Hom _k (−, k )は有限生成左A加群と有限生成右A加群の間の双対性です。したがって、有限生成射影左A加群は、 Pが有限生成射影右A加群である Hom _k ( P , k )の形の加群と正確に一致します。対称代数の場合、この双対性は特に良好な性質を持ち、射影加群と射影加群は一致します。

可換環と同様に、任意のアルティン環においても、素イデアルと分解不可能な単射加群の間には 1 対 1 の対応関係が存在する。この場合の対応関係はさらに単純である。素イデアルは一意な単純加群の零化イデアルであり、対応する分解不可能な単射加群はその単射包である。体上の有限次元代数の場合、これらの単射包は有限生成加群である( Lam 1999 、§3G、§3J)。

リー代数の場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$野原を越えて${\displaystyle k}$特性0のモジュールのカテゴリ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})}$は、その単射モジュールの比較的簡単な記述を持っています。^{[ 4 ]}普遍包絡代数を使用すると、任意の単射モジュールは${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュールは以下から構築できます${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュール

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

一部の人にとって${\displaystyle k}$-ベクトル空間${\displaystyle V}$このベクトル空間には${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-注入からのモジュール構造

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

実際、すべての${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュールにはいくつかの注入があります${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$そしてすべての注射剤${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュールは、いくつかの直接加算子です${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$。

可換ネーター環上${\displaystyle R}$、すべての単射加群は、分解不可能な単射加群の直和であり、すべての分解不可能な単射加群は、素数における剰余体の単射包である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$つまり、単射の場合${\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)}$同型写像が存在する

${\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

どこ${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$はモジュールの射影包である${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$^{[ 5 ]}さらに、${\displaystyle I}$あるモジュールの射影包絡線である${\displaystyle M}$それから${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$は、${\displaystyle M}$[ ^{2 ]​}

（無限個の）単射加群の積は単射である。逆に、加群の直積が単射であれば、各加群は単射である（Lam 1999 、p. 61）。有限個の単射加群の直和は単射である。一般に、部分加群、因子加群、または単射加群の無限直和は単射である必要はない。すべての単射加群のすべての部分加群は、環がアルティン半単純である場合に限り単射である（Golan & Head 1991 、p. 152） 。すべての単射加群のすべての因子加群は、環が遺伝的である場合に限り単射である（Lam 1999 、Th. 3.22）。  

バス・パップの定理によれば、右（左）単射加群の無限直和は、環が右（左）ネーター環である場合に限り単射となる（ラム1999 、p. 80-81、Th 3.46）。^{[ 6 ]} 

ベアの元の論文では、モジュールが単射であるかどうかをチェックするための有用な結果（通常ベアの基準として知られている）を証明しました。左RモジュールQは、 Rの左イデアルI上で定義された任意の準同型g  : I → QがR全体に拡張できる場合に限り単射です。

この基準を用いると、 Q が単射アーベル群（すなわちZ​​上の単射加群）であることが示せる。より一般的には、アーベル群が単射であるのは、それが可除である場合に限る。さらに一般的には、主イデアル整域上の加群が単射であるのは、それが可除である場合に限る（ベクトル空間の場合がこの定理の例である。なぜなら、すべての体は主イデアル整域であり、すべてのベクトル空間は可除だからである）。一般的な整域上では、依然として一つの含意がある。すなわち、整域上のすべての単射加群は可除である。

ベアの基準は、さまざまな方法で改良されてきた（Golan & Head 1991 、p. 119） 。その中には、 （Smith 1981 ）と（Vámos 1983 ）の結果、可換ネーター環の場合、素イデアルIだけを考慮すれば十分であるという結果も含まれる。ベアの基準の双対は、射影性を判断するテストとなるが、一般には偽である。例えば、Z加群Q はベアの基準の双対を満たすが、射影的ではない。 

おそらく最も重要な単射加群はアーベル群Q / Zでしょう。これはアーベル群の圏における単射コジェネレータであり、つまり単射であり、他の任意の加群はQ / Zのコピーの適切な大きさの積に含まれるということです。したがって、特に、すべてのアーベル群は単射群の部分群です。任意の環上でもこれが真であることは非常に重要です。つまり、すべての加群は単射加群の部分加群であり、「左R加群の圏には十分な数の単射加群がある」ということです。これを証明するために、アーベル群Q / Zの特異な性質を利用して、左R加群の圏における単射コジェネレータを構成します。

左R加群Mに対して、いわゆる「指標加群」M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) は、興味深い双対性を示す右R加群であり、それは単射加群と射影加群の間ではなく、単射加群と平坦加群の間である( Enochs & Jenda 2000 、78–80 頁)。任意の環Rに対して、左R加群が平坦であるのは、その指標加群が単射である場合に限る。R が左ネーター環である場合、左R加群が単射であるのは、その指標加群が平坦である場合に限る。 

モジュールの射影包とは、与えられたモジュールを含む最小の射影モジュールであり、( Eckmann & Schopf 1953 )で説明されている。

射影包を用いて最小射影分解を定義することができる（下記参照）。射影分解の各項が前の写像のコカーネルの射影包である場合、射影分解の長さは最小となる。

すべてのモジュールMには、次の形式の完全列である単射分解も存在する。

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

ここで、I ^jは単射モジュールです。単射分解は、 Ext ファンクターなどの派生ファンクターを定義するために使用できます。

有限単射分解の長さは、I n がゼロではなく、i が n より大きい場合に I i = 0 となる最初のインデックス n です。モジュールM^が有限単射分解を許容する^場合、Mのすべての有限単射分解の中で最小の長さをその単射次元と呼び、id( M ) と表記します。Mが有限単射分解を許容しない場合、慣例として単射次元は無限であると言われます。( Lam 1999 、§5C )例として、 id( M ) = 0となるモジュールMを考えます。この場合、シーケンス 0 → M → I ⁰ → 0 の完全性は、中央の矢印が同型であることを示しており、したがってM自体が単射です。^{[ 7 ]}    

言い換えれば、 Mの単射次元は、すべてのN > nに対してExt ^N _A (–, M ) = 0となる最小の整数n (そのような整数が存在する場合、存在しない場合は ∞) である。

単射加群のすべての単射部分加群は直和因子であるため、分解不可能な単射加群を理解することが重要です（Lam 1999 、§3F）。

すべての既約単射加群は局所自己準同型環を持つ。任意の2つの非零部分加群が非零の共通部分を持つ場合、加群は一様加群と呼ばれる。単射加群Mについて、以下は同値である。

• Mは分解不可能である
• Mはゼロではなく、すべてのゼロでない部分加群の単射包である。
• Mは均一である
• Mは一様モジュールの射影包である
• Mは一様巡回モジュールの射影包である。
• Mは局所自己準同型環を持つ

ネーター環上では、すべての単射加群は、（一意に決定される）分解不可能な単射加群の直和である。可換ネーター環上では、これは（Matlis 1958 ）で説明されているすべての単射加群について特に優れた理解を与える。分解不可能な単射加群は、環Rの素イデアルpに対する加群R / pの単射包である。さらに、 R / pの単射包Mは、イデアルp ⁿの零化イデアルによって与えられる加群M _nによる増加フィルターを持ち、M _{n +1} / M _nは、 R / pの商体k ( p )上の有限次元ベクトル空間としてHom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )) と同型である。

部分環や商環上の加群、特に例えば多項式環上の加群を考察できることが重要です。一般にこれは難しいですが、いくつかの結果が知られています（Lam 1999 、p. 62）。 

SとRを環とし、Pを左R加群、右S加群で、左R加群として平坦であるとする。任意の右S加群Mに対して、加群準同型の集合Hom _S ( P , M )は右R加群である。もちろん、左属性と右属性を入れ替えても、同じことが成り立つ。

例えば、RがSの部分環であり、 Sが平坦なR加群である場合、すべての単射S加群は単射R加群です。特に、R が整域であり、Sがその分数体である場合、S上のすべてのベクトル空間は単射R加群です。同様に、すべての単射R [ x ] 加群は単射R加群です。

反対方向には、環準同型${\displaystyle f:S\to R}$左乗法と右乗法によって、 R を左R、右S双加群にする。Rは自身上で自由であるため、左R加群としても平坦である。上記の記述をP = Rに特殊化すると、M が単射右S加群である場合、共誘導加群は${\displaystyle f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)}$は右R加群の単射である。したがって、fに関する共誘導により、 S加群からR加群の単射が得られる。

商環R / Iの場合、環の変換も非常に明確です。R加群は、 Iによって消滅する場合に限りR / I加群となります。部分加群 ann _I ( M ) = { m in M : im = 0 for all i in I } は、左R加群Mの左部分加群であり、 R / I加群であるMの最大の部分加群です。Mが単射左R加群である場合、ann _I ( M ) は単射左R / I加群です。これをR = Z、I = n ZおよびM = Q / Zに適用すると、 Z / n Zがそれ自身上の加群として単射であるというよく知られた事実が得られます。単射R加群を単射R / I加群に変換するのは容易ですが、このプロセスでは単射R分解を単射R / I分解に変換することはできず、結果として得られる複体のホモロジーは、相対ホモロジー代数の初期の基礎的な研究分野の一つです。 

教科書（Rotman 1979 、p. 103）には、局所化が単射を保存するという誤った証明があるが、反例は（Dade 1981 ）で示されている。 

単位元を持つ環はすべて自由加群であり、したがってそれ自身に対する加群としては射影的であるが、環がそれ自身に対する加群として単射的であることは稀である（Lam 1999 、§3B）。環が右加群としてそれ自身に対して単射的である場合、それは右自己単射環と呼ばれる。すべてのフロベニウス代数は自己単射であるが、体でない整域は自己単射ではない。デデキント整域のすべての適切な商は自己単射である。^{[ 8 ]}

右ネーター環で右自己単射環は準フロベニウス環と呼ばれ、両側アルティン環で両側単射である（Lam 1999 、Th. 15.1）。準フロベニウス環の重要な加群論的性質は、射影加群が単射加群と完全に一致することである。

また、モジュール圏よりも一般的な圏、例えばファンクター圏や、ある環空間( X ,O _X ) 上のO _X -モジュールの層の圏における単射対象についても議論されています。次の一般的な定義が用いられます。圏Cの対象Qは、 C内の任意の単射f : X → Yおよび任意の射g : X → Qに対して、 hf = gとなる射h : Y → Q が存在する場合に単射であると言います。   

アーベル群の圏における単射対象の概念は、可除群という用語の下で、単射加群とはやや独立に研究されてきた。ここで、Z加群Mは、すべての非零整数nに対してn⋅M = Mである場合に限り単射である。ここでは、平坦加群、純粋部分加群、および単射加群の関係は、単に加群要素の整数による特定の可除性に関する性質を参照しているため、より明確である。

相対ホモロジー代数においては、準同型の拡張性は、すべての部分加群に対してではなく、特定の部分加群に対してのみ必要とされる場合がある。例えば、純粋単射加群とは、純粋部分加群からの準同型を加群全体に拡張できる加群のことである。

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