コーエン・マコーレー環

数学 において、コーエン・マコーレー環は、局所等次元性など、滑らかな多様体の代数幾何学的性質のいくつかを備えた可換環である。軽い仮定の下では、局所環は、正則局所部分環上の有限生成自由加群である場合にまさにコーエン・マコーレーである。コーエン・マコーレー環は可換代数において中心的な役割を果たしており、非常に広範なクラスを形成しているが、多くの点でよく理解されている。

これらは、多項式環の非混合性定理を証明したフランシス・サワービー・マコーレー (1916)と、形式冪級数環 の非混合性定理を証明したアーヴィン・コーエン(1946) にちなんで名付けられました。すべてのコーエン・マコーレー環は非混合性の性質を持ちます。

ネーター局所環の場合、次の包含連鎖が存在する。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

可換 ノイザン 局所環 Rに対して、有限（すなわち有限生成）R加群がコーエン・マコーレー加群であるとは、次の場合である（一般に が成り立つ。ある種の加群の深さとdimの関係については、 Auslander–Buchsbaum の公式を参照）。一方、はそれ自身の加群であるため、それが -加群としてのコーエン・マコーレー加群である場合、そのコーエン・マコーレー環をと呼ぶ。最大コーエン・マコーレー加群とは、 となるコーエン・マコーレー加群Mである。 ${\displaystyle M\neq 0}$${\displaystyle \mathrm {深さ} (M)=\mathrm {寸法} (M)}$${\displaystyle \mathrm {深さ} (M)\leq \mathrm {dim} (M)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)}$

上記の定義は、ネーター局所環に対するものでした。しかし、より一般的なネーター環の定義を拡張することができます。 が可換ネーター環である場合、R加群M は、がすべての最大イデアルに対するコーエンマコーレー加群である場合にコーエンマコーレー加群と呼ばれます。(零加群をコーエンマコーレーとして定義しない限り、これは一種の循環定義です。そのため、この定義では零加群をコーエンマコーレー加群として定義します。) さて、これらの環の最大コーエンマコーレー加群を定義するには、Rの各最大イデアルに対して がそのような -加群である必要があります。局所の場合と同様に、R がコーエンマコーレー環である場合は、それがコーエンマコーレー加群です(それ自体の -加群として)。^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle \mathrm {m} \in \mathrm {補足} (M)}$${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle \mathrm {m} }$${\displaystyle R}$

以下のタイプのネーター環はコーエン・マコーレー環である。

• 任意の正則局所環。これにより、整数、体K上の多項式環、または冪級数環 など、さまざまなCohen–Macaulay 環の例が生まれます。幾何学的に言えば、体上の滑らかな多様体などのすべての正則スキームは Cohen–Macaulay です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots,x_{n}]}$ ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots,x_{n}]]}$
• 任意の 0 次元環（または同等の任意のアルティン環）。
• 任意の 1 次元の被約環、たとえば任意の 1 次元領域。
• 任意の 2 次元正規環。
• 任意のゴレンシュタイン環。特に、任意の完全交差環。
• Rが特性0 の体上のコーエン・マコーレー代数であり、 Gが有限群（またはより一般的には、単位元が簡約である線型代数群）である場合の不変量環 。これがホクスター・ロバーツの定理です。${\displaystyle R^{G}}$
• 任意の行列式環。つまり、R をSの元のp × q行列のr × r小行列式によって生成されるイデアルIによる正則局所環Sの商とします。I の余次元 (または高さ) が「期待される」余次元 ( p − r +1)( q − r +1)に等しい場合、 R は行列式環と呼ばれます。その場合、Rはコーエン−マコーレーです。^{[2]同様に、}行列式多様体の座標環はコーエン−マコーレーです。

さらにいくつかの例:

1. 環K [ x ]/( x ²) は次元が 0 なので Cohen–Macaulay ですが、約数ではないため正則ではありません。
2. 多項式環K [ t ] の部分環K [ t ² , t ³ ] 、またはt =0でのその局所化または完備化は、ゴレンスタインであり、したがってコーエン・マコーレーであるが、正則ではない 1 次元領域です。この環は、K上の尖点3 次曲線y ² = x ³の座標環としても記述できます。
3. 多項式環K [ t ]の部分環K [ t3 , t4 , t5 ]、あるいはt ⁼ 0におけるその局所化または完備化は、コーエン・マコーレー^{ではあるがゴレンスタインでは}あるわけではない1次元領域である。

特性ゼロの体上の有理特異点はコーエン・マコーレーである。任意の体上のトーリック多様体はコーエン・マコーレーである。 ^[3]極小モデルプログラムは、 klt（川又対数終端）特異点を持つ多様体を主に利用する。特性ゼロではこれらは有理特異点であり、したがってコーエン・マコーレーである。 ^[4]正特性における有理特異点の1つの成功した類似点は、 F有理特異点の概念であり、このような特異点もコーエン・マコーレーである。^[5]

X を体上の次元n ≥ 1の射影多様体とし、 L をX上の豊富な直線束とする。このとき、 Lの切断環は

${\displaystyle R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

がコーエン・マコーレー環となるための必要十分条件は、コホモロジー群H ⁱ ( X , L ^j ) がすべての 1 ≤ i ≤ n −1 およびすべての整数jに対して 0 となることである。^[6]例えば、アーベル多様体X上のアフィン円錐 Spec R は、 Xが 1 次元のときはコーエン・マコーレー環であるが、X が少なくとも 2 次元のときはコーエン・マコーレー環ではない（H ¹ ( X , O ) が 0 でないため）。一般化コーエン・マコーレー環も参照。

各点で局所環がコーエン・マコーレーである場合、局所ノイザンスキームは コーエン・マコーレーであると言います。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

コーエン・マコーレー曲線はコーエン・マコーレースキームの特殊なケースですが、滑らかな軌跡の境界がコーエン・マコーレー曲線である曲線のモジュライ空間をコンパクト化するために役立ちます^[7]。曲線がコーエン・マコーレーであるかどうかを判断するための便利な基準があります。次元スキームがコーエン・マコーレーである場合、埋め込まれた素数はありません。^[8]コーエン・マコーレー曲線に存在する特異点は、平面曲線の場合を見ることで完全に分類できます。^[9]${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle \leq 1}$

この基準を用いると、埋め込み点を持つ曲線を構成することで、非コーエン・マコーレー曲線の簡単な例が得られる。例えば、

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)}$

は素イデアル に分解されます。幾何学的には、これは原点に埋め込まれた点を持つ - 軸であり、太い点と考えることができます。滑らかな射影平面曲線 が与えられた場合、埋め込まれた点を持つ曲線は同じ手法を使用して構築できます。つまり、の点のイデアルを見つけて、それをのイデアルと掛け合わせます。すると、 ${\displaystyle (x)\cdot (x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle I_{C}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)}$

は に埋め込まれた点を持つ曲線です。 ${\displaystyle x}$

コーエン・マコーレー・スキームは交差理論と特別な関係がある。正確には、X を滑らかな多様体^[10]とし、V、W を純次元の閉じた部分スキームとする。Zをスキーム理論的交差の適切な成分、つまり期待次元の既約成分とする。Zのジェネリック点におけるの局所環Aがコーエン・マコーレーである場合、Zに沿ったVとWの交差多重度はAの長さとして与えられる: ^[11]${\displaystyle V\times _{X}W}$${\displaystyle V\times _{X}W}$

${\displaystyle i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)}$。

一般に、その重複度が長さとして与えられることは、本質的にコーエン・マコーレー環を特徴づけます。#Properties を参照してください。一方、 重複度 1 の基準は、正則局所環を重複度 1 の局所環として大まかに特徴づけます。

簡単な例として、放物線とそれに接する直線の交点をとった場合、交点の局所環は

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}}$

これは長さ 2 の Cohen–Macaulay なので、交差多重度は予想どおり 2 になります。

コーエン・マコーレー環には、奇跡の平坦性や広中の基準と呼ばれる注目すべき特徴がある。R を、 Rに含まれるある正則局所環A上の加群として有限生成な局所環とする。そのような部分環は、ノイマン正規化補題により、体上の有限生成代数の素イデアルにおける任意の局所化Rに対して存在する。また、 Rが完備で体を含む場合や、R が完備な領域である場合にも存在する。 ^[12]このとき、R がA加群として平坦である場合に限り、 R はコーエン・マコーレーである。これは、 R がA加群として自由であると言うことと同値である。^[13]

幾何学的な再定式化は次のようになる。Xを体K上の有限型の連結 アフィンスキーム（たとえば、アフィン多様体）とする。n をXの次元とする。ノイマン正規化により、 XからK上のアフィン空間A ⁿへの有限射f が存在する。すると、fのすべてのファイバーが同じ次数を持つ場合のみ、Xはコーエン・マコーレーである。 ^{[14]この性質が}fの選択に依存しないことは注目に値する。

最後に、次数付き環に対するミラクル平坦性のバージョンがある。Rを体K上の有限生成可換次数付き代数とする。

${\displaystyle R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .}$

R ⊂ Aには次数付き多項式部分環(様々な次数の生成元を持つ) が常に存在し、R はA加群として有限生成されます。このとき、R が次数付きA加群として自由である場合に限り、Rは Cohen–Macaulay です。また、この自由性は多項式部分環Aの選択とは無関係であることがわかります。

• ネーター局所環がコーエン・マコーレー環であるのは、その完備化がコーエン・マコーレー環である場合に限ります。^[15]
• Rがコーエン・マコーレー環ならば、多項式環R [ x ]と冪級数環R [[ x ]]はコーエン・マコーレー環である。^{[16] [17]}
• ネーター局所環Rの極大イデアルにおける非零因子 uに対して、Rがコーエン・マコーレーであるための必要十分条件は、R /( u )がコーエン・マコーレーであることだ。^[18]
• コーエン・マコーレー環を任意のイデアルで割った商は普遍カテナリーである。^[19]
• Rがコーエン・マコーレー環の商である場合、軌跡{ p∈SpecR | Rp_はコーエン・マコーレー}はSpecRの開集合である。[ ^20]
• ( R , m , k ) を埋め込み余次元cのノイザン局所環、つまりc = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ) とします。幾何学的に言えば、これは正則スキームにおける余次元cの部分スキームの局所環に対して成り立ちます。 c =1 に対して、Rがコーエン・マコーレー環である場合、そしてそれが超曲面環である場合に限ります。余次元 2 のコーエン・マコーレー環に対する構造定理、ヒルベルト・バーチの定理もあります。これらはすべて、あるrに対する ( r +1) × r行列のr × r小行列式によって定義される行列式環です。
• ネーター局所環（R、m）に対して、以下は同値である：^[21]
  1. Rはコーエン・マコーレーです。
  2. あらゆるパラメータイデアル Q （パラメータのシステムによって生成されるイデアル） に対して、

     ${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$ := Qのヒルベルト・サミュエル重複度。

  3. あるパラメータ理想Qに対して、.${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$

(この特徴付けを一般化する環については、一般化コーエン・マコーレー環とブックスバウム環を参照してください。)

ネーター環AのイデアルI は、 Iの高さがA / Iのすべての関連する素数Pの高さに等しいとき、高さが非混合であるといいます。(これは、 A / Iが等次元であると言うことよりも強いです。以下を参照してください。)

非混合性定理は、環Aに対して、その高さに等しい数の元によって生成されるすべてのイデアルIが非混合であるときに成立すると言われる。ネーター環がコーエン・マコーレー環であるためには、非混合性定理が成立する必要がある。^[22]

非混合定理は特に零イデアル（零元によって生成されるイデアル）に適用され、したがってコーエン・マコーレー環は等次元環であると言えます。実際、強い意味では、埋め込まれた成分はなく、各成分は同じ余次元を持ちます。

準非混合環（イデアルの整閉包に対して非混合定理が成り立つ環） も参照。

1. Kが体の場合、環R = K [ x , y ]/( x ² , xy ) (埋め込まれた点を持つ直線の座標環) はコーエン・マコーレーではありません。これは、たとえば、ミラクル平坦性によって次のように示されます。Rは多項式環A = K [ y ] 上で有限であり、 y ≠ 0のアフィン直線 Spec Aの点上では次数が 1 ですが、点y = 0上では次数が 2 です( Kベクトル空間K [ x ]/( x ² ) の次元が 2 であるため)。
2. Kが体である場合、環K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (直線と平面の和の座標環) は縮約されますが、等次元ではないため、コーエン・マコーレーではありません。商を非ゼロの因子x − zで取ると、前の例が得られます。
3. Kが体であれば、環R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (一点で交わる 2 つの平面の和集合の座標環) は縮約され等次元であるが、コーエン・マコーレー環ではない。これを証明するには、ハーツホーンの連結性定理を使うことができる。すなわち、 R が少なくとも 2 次元のコーエン・マコーレー局所環であれば、Spec Rからその閉点を引いたものは連結である。^[23]

2つのコーエン・マコーレー環のセグレ積はコーエン・マコーレー環である必要はない。^[24]

コーエン・マコーレー条件の 1 つの意味は、コヒーレント双対性理論で見ることができます。多様体またはスキームXは、 X上の層の導来カテゴリに先験的に存在する「双対化複体」が単一の層によって表される場合、コーエン・マコーレーです。ゴレンシュタインであるというより強い特性は、この層が直線束であることを意味します。特に、すべての正則スキームはゴレンシュタインです。したがって、ゴレンシュタイン スキームまたはコーエン・マコーレー スキームに対するセール双対性やグロタンディークの局所双対性などの双対性定理の記述は、正則スキームまたは滑らかな多様体で起こることの単純さをいくらか保持しています。

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• コーエン・マコーレー積分領域の例
• コーエン・マコーレー環の例

• リング理論
• ローカルリング
• ゴレンシュタインのローカルリング
• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明