ツインプライム

双子素数とは、他の素数より 2 少ないか 2 多い素数です。たとえば、双子素数のペア(17, 19) または(41, 43)のいずれかです。言い換えると、双子素数とは素数間隔が 2 である素数です。双子素数という用語は双子素数のペアを指すこともあります。別名は素数双子または素数ペアです。

双子素数は、数値自体が大きくなるにつれて隣接する素数間のギャップが大きくなるという一般的な傾向と一致して、より広い範囲を調べるにつれてますます稀になります。しかし、双子素数が無限に存在するかどうか（いわゆる双子素数予想）や、最大のペアが存在するかどうかは不明です。 2013年のYitang Zhang の画期的な研究^[1]や、James Maynard、Terence Taoらの研究により、双子素数が無限に存在することを証明する大きな進歩がありましたが、現在のところこれは未解決のままです。^[2]

通常、ペア（2, 3）は双子素数のペアとは見なされません。^[3] 2は唯一の偶数素数であるため、このペアは1だけ異なる素数のペアです。したがって、双子素数は他の2つの素数に対して可能な限り接近しています。

最初のいくつかの双子素数ペアは

(3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、 (17, 19)、(29, 31)、(41, 43)、 (59, 61)、(71, 73)、(101) 、103)、 (107、109)、(137、139)、... OEIS : A077800。

5は2つのペアに属する唯一の素数であり、 (3, 5)より大きいすべての双子素数ペアは、ある自然数nに対しての形をとります。つまり、2つの素数の間の数は6の倍数です。^[4] その結果、任意の双子素数ペア（3と5以外）の合計は12で割り切れます。 ${\displaystyle (6n-1,6n+1)}$

1915年、ヴィゴ・ブルンは双子素数の逆数の和が収束することを示した。^[5] この有名な結果はブルンの定理と呼ばれ、ブルンのふるいの最初の使用例であり、現代のふるい理論の発展のきっかけとなった。ブルンの議論の現代版は、N未満の双子素数の数がNを超えないこと を示すために使用できる。

${\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}$

絶対定数C > 0に対してである^。[6] 実際、これは 以下に示す双子素数定数（2/3よりわずかに小さい）によって上 界が定められている。 ^[7]$${\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],}$$${\displaystyle C_{2}}$

双子素数が無限に存在するかどうかという問題は、長年にわたり数論における大きな未解決問題の一つであった。これは双子素数予想の内容であり、 p + 2も素数となるような素数pが無限に存在するというものである。1849年、ポリニャックはより一般的な予想として、あらゆる自然数kに対して、 p + 2 kも素数となるような素数p が無限に存在するという予想を立てた。 ^[8]ポリニャックの予想のk = 1の 場合が双子素数予想である。

双子素数予想のより強い形式であるハーディ・リトルウッド予想（下記参照）は、素数定理に似た双子素数の分布法則を仮定しています。

2013年4月17日、Yitang Zhangは、7000万未満の 整数 Nが存在し、 Nだけ異なる素数のペアが無限に存在することを証明した。^[9] Zhangの論文は2013年5月初旬に受理された。 ^[10] Terence Taoはその後、 Zhangの境界を最適化するためのPolymath Projectの共同作業を提案した。^[11]

張の発表から1年後、この上限は246にまで削減され、現在もその値のままである。^[12] この改善された上限は、張のものよりも単純な別のアプローチを使用して発見され、ジェームズ・メイナードとテレンス・タオによって独立に発見された。この2番目のアプローチでは、幅f ( m )の無限個の区間に少なくともm個の素数が含まれることを保証するために必要な最小のf ( m )の上限も与えられた。さらに（次のセクションも参照）、エリオット・ハルバースタム予想とその一般化形式を仮定すると、Polymath Project wikiでは、上限はそれぞれ12と6であると述べられている。^[12]

ゴールドバッハの予想の強化が証明されれば、無限の数の双子素数が存在することや、シーゲル零点の存在も証明されることになる。

1940 年、ポール・エルデシュは定数 c < 1と、 p ′ − p < c ln pを満たす無限個の素数pが存在することを示しました。ここでp′ はpの次の素数を表します。これは、素数がどんどん大きくなるにつれて、これらの区間のサイズがゆっくりと大きくなるようにすれば、 2 つの素数( p、p ′)を含む区間が無限に見つかることを意味します。ここで、「ゆっくりと大きくなる」とは、これらの区間の長さが対数的に大きくなる可能性があることを意味します。この結果はその後も改善され、1986 年にヘルムート・マイヤーは定数c < 0.25を使用できることを示しました。2004 年にダニエル・ゴールドストンとジェム・ユルドゥルムは、定数をc = 0.085786...までさらに改善できることを示しました。 2005年にゴールドストン、ピンツ、ユルドゥルムはcを任意に小さく選択できることを明らかにした。 ^{[13] [14]} すなわち

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}$

一方、この結果は、区間のサイズが、たとえばc ln ln p の ように大きくなることだけを許可する場合、2 つの素数を含む区間が無限に存在しない可能性があることを排除するものではありません。

エリオット・ハルバースタム予想、またはそれよりわずかに弱いバージョンを仮定することで、彼らは、 n、n + 2 、n + 6、n + 8、n + 12、n + 18、またはn + 20のうち少なくとも 2 つが素数となるようなnが無限に存在することを証明することができました。より強い仮説のもとでは、彼らは、無限個の n に対して、 n 、 n + 2 、 n + 4 、および n + 6 のうち少なくとも2つが素数であることを示しました。

張一堂の結果、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},}$

これはゴールドストン・グラハム・ピンツ・ユルドゥルムの結果を大幅に改善したものである。ポリマスプロジェクトによる張の境界の最適化とメイナードの研究により、境界は縮小された。限界の劣位は最大で246である。^{[15] [16]}

最初のハーディ・リトルウッド予想（GH ハーディとジョン・リトルウッドにちなんで名付けられた）は、双子素数予想の一般化である。これは、素数定理に類似して、双子素数を含む素数群の分布に関するものである。⁠ ⁠ は、 p + 2も素数となるような素数p ≤ xの数を表すものとする。双子素数定数C _{2 を}^[17]と定義する （ここで、積はすべての素数p ≥ 3に及ぶ）。すると、最初のハーディ・リトルウッド予想の特殊なケースは、 x が無限大に近づくにつれて 2 つの式の商が1に近づくという意味で となる。^[6]（2 番目の ~ は予想の一部ではなく、部分積分によって証明される。） ${\displaystyle \pi_{2}(x)}$ $${\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .}$$$${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}}$$

この予想は、 ⁠ ⁠ が素数分布の${\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}$密度関数を記述すると仮定することで正当化できます (ただし証明はできません) 。この仮定は素数定理によって示唆され、上記の⁠ ⁠${\displaystyle \pi_{2}(x)}$の式で示されるように、双子素数予想を意味します。

素数k組に関する完全に一般的な第一ハーディ・リトルウッド予想（ここでは示されていない）は、第二ハーディ・リトルウッド予想が誤りであることを意味する。

この予想はディクソンの予想によって拡張されました。

1849 年のポリニャックの予想は、任意の正の偶数kに対して、 pとp′ が連続する素数のペアが無限に存在し、 p ′ − p = kとなる（つまり、サイズkの素数ギャップが無限に存在する）と述べています。 k = 2の場合は双子素数予想です。 この予想は、特定のkの値に対してはまだ証明も反証もされていませんが、 Zhang の結果は、少なくとも 1 つの（現在のところ不明な）kの値に対して真であることを証明しています。 実際、そのようなk が存在しない場合は、任意の正の偶数の自然数Nに対して、すべてのm < Nに対してとなるnはせいぜい有限個存在し、したがってn が十分に大きい場合、次が成り立ち、これは Zhang の結果と矛盾します。^[8]${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}$

2007年以降、2つの分散コンピューティングプロジェクトであるTwin Prime SearchとPrimeGridが、記録的な大きさの双子素数をいくつも生み出してきました。2022年8月現在^{[アップデート]}、現在知られている最大の双子素数ペアは2996863034895 × 2 ^1290000 ± 1で、^[18] 10進数で388,342桁あります。これは2016年9月に発見されました。^[19]

10未満の双子素数ペアは808,675,888,577,436個ある。¹⁸ . ^{[20] [21]}

4.35 × 10までのすべての素数ペアの実証分析^15は、 x未満のそのようなペアの数がf  ( x )· x  /(logx ) 2^で ある場合、 f  ( x )はxが小さいときに約1.7であり、 xが無限大に近づくにつれて約1.3に向かって減少することを示しています。ハーディ-リトルウッド予想によれば、 f  ( x )の極限値は双子素数定数( OEIS :A114907 )(ブルンの定数と混同しないでください)の2倍に等しいと予想されます。

3 つめの奇数は 3 で割り切れるため、そのうちの 1 つが 3 でない限り、連続する 3 つの奇数は素数にはなりません。したがって、5 は 2 つの双子素数ペアの一部となる唯一の素数です。ペアの下側の要素は、定義によりChen 素数です。

m  − 4 またはm + 6 も素数である場合 、3つの素数は素数三つ組と呼ばれます。

^[22]により、( m ,  m  +2)が双子素数となるのは、

${\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}$

自然数n > 1に対して (6 n − 1, 6 n + 1)という形式の双子素数ペアの場合、 n は0、2、3、5、7、または 8 で終わる必要があります ( OEIS : A002822 )。n が1 または 6 で終わる場合、 6 nも6 で終わり、 6 n −1 は 5 の倍数になります。これは、 n  = 1 でない限り素数ではありません。同様に、 n が4 または 9 で終わる場合、 6 nも4 で終わり、 6 n  +1 は 5 の倍数になります。同じ規則がp ≥ 5 の任意の素数を法として適用されます。n ≡ ±6 ⁻¹ (mod p ) の場合、ペアの 1 つはpで割り切れ、 6 n = p ±1でない限り双子素数ペアにはなりません 。 p = 5 は、たまたま基数 10 で特に単純なパターンを生成します。

孤立素数（単一素数または非双子素数とも呼ばれる）は、 p  − 2 もp + 2 も素数ではない素数pです 。言い換えると、p は双子素数のペアの一部ではありません。たとえば、 21 と 25 はどちらも合成数なので、 23 は孤立素数です。

最初のいくつかの孤立した素数は

2、23、37、47、53、67、79、83、89、97、... OEIS : A007510。​​​​​​​​​​​​​​​​

ブルンの定理から、与えられたしきい値n未満の孤立した素数の数とn未満のすべての素数の比は、 n が無限大に近づくにつれて 1 に近づくという意味で、ほとんどすべての素数は孤立していることがわかります。

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• スローン、ニール、プルーフ、サイモン(1995)。整数列百科事典。サンディエゴ、カリフォルニア州: アカデミック プレス。ISBN 0-12-558630-2。

• 「双子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• クリス・コールドウェルのプライムページのトップ20ツインプライム
• Xavier Gourdon、Pascal Sebah: 双子素数とブルンの定数の紹介
• 58711桁の双子素数記録の「公式プレスリリース」
• Weisstein、Eric W.「双子素数」。MathWorld。
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