ジェイコブソンリング

代数学において、ヒルベルト環またはヤコブソン環は、すべての素イデアルが原始イデアルの交差であるような環です。可換環の場合、原始イデアルは最大イデアルと同じなので、この場合、ヤコブソン環はすべての素イデアルが最大イデアルの交差である環です。

ヤコブソン環は、ヴォルフガング・クルル (1951, 1952)によって独立に導入され、ヤコブソン基数との関係からネイサン・ヤコブソンにちなんで名付けられました。また、オスカー・ゴールドマン(1951) によって独立に導入され、ヒルベルトの零点定理との関係からデイヴィッド・ヒルベルト にちなんでヒルベルト環と名付けられました。

代数幾何学のヒルベルトの零点定理は、体上の有限変数の多項式環はヒルベルト環であるという命題の特殊なケースである。零点定理の一般的な形式は、R がヤコブソン環であれば、任意の有限生成R代数Sもヤコブソン環である、と述べている。さらに、 Sの任意の極大イデアルJの引き戻しはRの極大イデアルIであり、S/J は体R/Iの有限拡大である。

特に、有限型のヤコブソン環の射は、環の極大スペクトルの射を誘導します。これは、体上の代数多様体の場合、スキームの導入前に行われていたように、すべての素イデアルではなく極大イデアルで作業するだけで十分な場合が多い理由を説明しています。局所環などのより一般的な環の場合、環の射が極大スペクトルの射を誘導するというのはもはや真実ではなく、極大イデアルではなく素イデアルを使用すると、より明確な理論が得られます。

• 任意の体はヤコブソン環です。
• ヤコブソン根号がゼロである主イデアル領域またはデデキント領域は、ヤコブソン環です。主イデアル領域とデデキント領域では、非ゼロの素イデアルはすでに最大であるため、チェックする必要があるのは、ゼロイデアルが最大イデアルの交差であるかどうかだけです。ヤコブソン根号がゼロになるように要求すると、これが保証されます。主イデアル領域とデデキント領域では、素イデアルが無限にある場合にのみ、ヤコブソン根号は消えます。
• ヤコブソン環上の任意の有限生成代数はヤコブソン環です。特に、任意のアフィン代数集合の座標環など、体または整数上の任意の有限生成代数はヤコブソン環です。
• 局所環には最大イデアルが 1 つだけ存在するため、その最大イデアルが唯一の素イデアルである場合に、局所環はヤコブソン環になります。したがって、クルル次元が0 である任意の可換局所環はヤコブソン環ですが、クルル次元が 1 以上の場合、環はヤコブソン環にはなりません。
• (Amitsur 1956) は、無数体上の任意の可算生成代数はヤコブソン環であることを示した。
• 非アルキメデス体上のテイト代数はヤコブソン環である。
• 可換環Rがヤコブソン環となるのは、R上の多項式環R [ x ]がヤコブソン環となるときのみである。^[1]

可換環R上の次の条件は同値です。

• Rはヤコブソン環である
• Rのすべての素イデアルは、最大イデアルの交差です。
• あらゆる根本的な理想は、最大限の理想の交差点です。
• ゴールドマンの理想はすべて最大限です。
• Rの素イデアルによるすべての商環には、零のヤコブソン根号が存在します。
• すべての商環において、零根号はヤコブソン根号に等しい。
• R上の体であるすべての有限生成代数は、R加群として有限生成されます。(ザリスキの補題)
• R / Pが( R / P )[x ⁻¹ ]体を持つ元xを持つようなRのすべての素イデアルPは最大素イデアルである。
• Rのスペクトルはヤコブソン空間であり、これはすべての閉部分集合がその中の閉点の集合の閉集合であることを意味します。
• (ネーター環 Rの場合): R には、 R / P が1 次元半局所環となるような素イデアルP が存在しない。

• アミトゥール、シムション A. (1956)、「無限体上の代数」、アメリカ数学会紀要、7 (1): 35–48、doi : 10.2307/2033240、ISSN  0002-9939、JSTOR  2033240、MR  0075933
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995年3月30日）。可換代数。シュプリンガー。ISBN 0-387-94269-6。
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