フラットカバー

代数学において、環上の加群Mの平坦被覆は、ある意味では極小である、平坦加群FからMへの射影準同型です。環上の任意の加群には、(一意でない)同型を除いて一意である平坦被覆があります。平坦被覆は、ある意味では入射包と双対であり、射影被覆および捩れのない被覆と関連しています。

準同型写像F → Mは、それが全射であり、Fが平坦であり、平坦モジュールからMへのすべての準同型写像がF を介して因数分解され、 Mへの写像と可換なFからFへの任意の写像がFの自己同型である場合に、 Mの平坦被覆として定義されます。

モジュールの射影被覆は常に存在するわけではありませんが、一般環ではすべてのモジュールが平坦被覆を持つと推測されました。この平坦被覆予想は、 (Enochs 1981、p 196) で初めて明示的に述べられました。この予想は正しいことが判明し、Bican、El Bashir、Enochs (2001) によって肯定的に解決され、同時に証明されました。これに先立って、P. Eklof、J. Trlifaj、J. Xu による重要な貢献がありました。

環上の任意のモジュールMは平坦なモジュールによる分解を持つ。

→ F ₂ → F ₁ → F ₀ → M → 0

それぞれのF _{n +1は}F _n → F _{n −1}の核の平坦被覆となる。このような解析は同型性を除いて一意であり、Mの任意の平坦解析がそれを因数分解するという意味で極小平坦解析である。任意の加群の準同型は対応する平坦解析間の準同型に拡張されるが、この拡張は一般に一意ではない。

• エノックス、エドガー E. (1981)、「単射および平坦な被覆、包絡線および解決子」、イスラエル数学ジャーナル、39 (3): 189–209、doi :10.1007/BF02760849、ISSN  0021-2172、MR  0636889
• Bican, L.; El Bashir, R.; Enochs, E. (2001)、「すべてのモジュールはフラットカバーを備えている」、ロンドン数学会誌、33 (4): 385–390、doi :10.1017/S0024609301008104、ISSN  0024-6093、MR  1832549
• 「フラットカバー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Xu, Jinzhong (1996)、「モジュールのフラットカバー」、数学講義ノート、vol. 1634、ベルリン：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0094173、ISBN 3-540-61640-3、MR  1438789