分数理想

数学、特に可換代数において、分数イデアルの概念は整域の文脈で導入され、デデキント域の研究で特に有益である。ある意味では、整域の分数イデアルは分母が許されるイデアルに似ている。分数イデアルと通常の環イデアルの両方が議論されている文脈では、明確にするために後者を整域イデアルと呼ぶことがある。

を整域とし、をその分数体とします。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$

の分数イデアルは、 となる非ゼロの が存在するような の-部分モジュールです。 の元は、の分母を消去したものと考えることができるため、分数イデアルと呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle rI\subseteq R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$

主要な分数イデアルは、 の単一の非ゼロ元によって生成される の-部分加群です。 分数イデアルがに含まれるのは、それが の (整) イデアルである場合に限ります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

分数イデアルは、別の分数イデアルが存在し、 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

どこ

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

2つの分数イデアルの 積です。

この場合、分数イデアルは一意に決定され、一般化イデアル商に等しい。${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

可逆な分数イデアルの集合は、上記の積に関してアーベル群を形成します。ここで、恒等式は単位イデアル そのものです。この群はの分数イデアル群と呼ばれます。主分数イデアルは部分群を形成します。(非ゼロの) 分数イデアルが可逆なのは、それが-加群として射影的である場合に限ります。幾何学的には、これは可逆な分数イデアルがアフィン スキーム上の階数 1のベクトル束として解釈できることを意味します。 ${\displaystyle (1)=R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

Kの有限生成 R部分加群はすべて分数イデアルであり、がネーターである場合、これらはすべて の分数イデアルです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

デデキント領域では、状況ははるかに単純です。特に、すべての非ゼロ分数イデアルは可逆です。実際、この特性はデデキント領域を特徴づけます。

整域は、すべての非ゼロ分数イデアルが逆である場合にのみ、デデキント域になります。

デデキント領域上の分数イデアルの集合はと表される。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

その分数イデアルの主分数イデアルの部分群による商群は、イデアル類群と呼ばれるデデキント域の重要な不変量である。

数体 の特殊な場合（ 、ただし= exp (2π i/n) ）には、の整数環と呼ばれる関連する環が存在します。たとえば、は平方自由でと合同です。これらの環の重要な特性は、デデキント域であることです。したがって、分数イデアルの理論は数体の整数環に対して記述できます。実際、類体理論は、類環のそのような群の研究です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

数体の整数環^{[1] pg 2} に対して、分数イデアルの群は と表記される群を形成し、主分数イデアルの部分群は と表記される。イデアル類群は主分数イデアルを法とする分数イデアルの群であるため、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

そして、その類数は群の位数です。ある意味では、類数は整数環が一意因数分解領域(UFD)からどれだけ「遠い」かを示す尺度です。これは、 が UFD である場合に限ります。 ${\displaystyle h_{K}}$${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle h_{K}=1}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

正確な順序がある

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

すべての数値フィールドに関連付けられます。

数体の分数イデアルに関する重要な構造定理の一つは、すべての分数イデアルは次のように順序付けて一意に分解できること を述べている。${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

最高の理想のために

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$。

のスペクトル内。例えば、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$要因として${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

また、数体上の分数イデアルはすべて有限生成なので、イデアルを得るためにいくつかのものを掛けて分母を消去することができます。したがって 、${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

もう一つの有用な構造定理は、整分数イデアルは最大 2 つの要素によって生成されるというものです。整 のサブセットである分数イデアルを と呼びます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$は分数イデアルである${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 理想的な分割については${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle (5)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• 因数分解が成り立つ。これを掛け算すると次のようになる。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

は を満たすので、因数分解は意味をなします。${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$

• なぜなら、分数の理想を掛け合わせることができるからです${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

${\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}$そして${\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}$

理想を得るために

${\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}$

非ゼロの分数イデアルを含むすべての主分数イデアルの共通部分を とします。 ${\displaystyle {\tilde {I}}}$${\displaystyle I}$

同様に、

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

上記の通り

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

ならば、I は分数イデアルと呼ばれる。^[2]言い換えれば、分数イデアルは分数主イデアルの空でない集合の非零の共通集合である。 ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

Iが除数であり、J が非ゼロの分数イデアルである場合、( I  : J ) は除数です。

Rを局所 クルル領域（例えば、ネーター 整閉局所領域）とする。Rが離散評価環となるのは、 Rの最大イデアルが除数である場合に限る。^[3]

除数イデアル上の上昇連鎖条件を満たす整域は森整域と呼ばれる。^[4]

• 除数束
• デデキント・クンマーの定理

• バルッチ、ヴァレンティーナ (2000)、「モリ領域」、グラズ、サラ、チャップマン、スコット T. (編)、非ノイザン可換環理論、数学とその応用、第 520 巻、ドルドレヒト: クルーワー アカデミー出版、pp. 57–73、ISBN 978-0-7923-6492-4、MR  1858157
• スタイン、ウィリアム、代数的数論の計算入門(PDF)
• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG（1994）『可換代数入門』第9章、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-201-40751-8
• ブルバキの第 VII.1 章、Nicolas (1998)、可換代数(第 2 版)、Springer Verlag、ISBN 3-540-64239-0
• 松村秀之（1989）「可換環論」第11章、ケンブリッジ高等数学研究第8巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6、MR  1011461