ねじれ（代数学）

数学、特に環論において、ねじれ元とは、環の零元でない因子を掛けたときに零となる加群の要素のことである。加群のねじれ部分加群とは、ねじれ元によって形成される部分加群のことである（環が整域である場合など、実際に部分加群となる場合）。ねじれ加群とは、ねじれ元のみからなる加群のことである。唯一のねじれ元が零元である場合、その加群はねじれフリーである。

この用語は、ドメイン上の加群、つまり、環の正則要素がすべてその環の非ゼロ要素である場合によく使用されます。

この用語はアーベル群に適用されます（「モジュール」と「部分モジュール」は「群」と「部分群」に置き換えられます）。これは、より一般的な状況の特殊なケースにすぎません。なぜなら、アーベル群は整数環上のモジュールだからです。（実際、これがこの用語の起源であり、アーベル群のために導入された後、モジュールに一般化されました。）

非可換群の場合、ねじれ元は有限位数の元である。可換群とは異なり、一般にねじれ元は部分群を形成しない。

環R上の加群Mの要素mは、 m を消滅させる正則要素r (左零因子でも右零因子でもない要素) が存在する場合、すなわちr m = 0である場合に、加群のねじれ要素と呼ばれます。整域(零因子を持たない可換環) では、すべての非零要素は正則であるため、整域上の加群のねじれ要素は、整域の非零要素によって消滅される要素です。一部の著者はこれをねじれ要素の定義として使用していますが、この定義はより一般的な環ではうまく機能しません。

環R上の加群Mは、そのすべての要素がねじれ要素である場合、ねじれ加群と呼ばれ、ねじれ要素がゼロのみである場合は、ねじれなし加群と呼ばれます。 ^{[ 1 ]}環Rが可換である場合、すべてのねじれ要素の集合はMの部分加群を形成し、 Mのねじれ部分加群と呼ばれ、T( M ) と表記されることもあります。Rが可換でない場合、T( M ) は部分加群である場合もそうでない場合もあります。( Lam 2007 )では、すべての右 R 加群に対してT ( M ) がMの部分加群である場合に限り、 Rが右Ore環であることが示されています。右ネーター領域はOre であるため、これはR が右ネーター領域である場合(可換でない場合もある)をカバーします。

より一般的に、M を環R上の加群とし、S をRの乗法的に閉じた部分集合とする。Mの要素mは、 Sの要素sが存在して、 sがmを消滅させる、すなわちs m = 0となる場合、Sねじれ要素と呼ばれる。特に、Sを環Rの正則要素の集合とすることで、上記の定義を再現できる。

群Gの要素gは、有限位数を持つ場合、すなわち、正の整数mが存在してg ^m = eとなる場合、群のねじれ要素と呼ばれます。ここで、 e は群の単位元を表し、g ^{m は}gのm個のコピーの積を表します。群は、そのすべての要素がねじれ要素であり、かつ、ねじれのない群とは、ねじれ要素が単位元のみである群のことである。任意のアーベル群はZ上の加群とみなすことができ、この場合、ねじれに関する2つの概念は一致する。

1. 任意の環R上の自由加群をMとする。定義から直ちに、Mはねじれのない加群であることがわかる（環Rが整域でない場合、ねじれはRの非零因子の集合Sに関して考慮される）。特に、任意の自由アーベル群はねじれがなく、体K上の任意のベクトル空間は、 K上の加群として見た場合、ねじれがない。
2. 例１とは対照的に、任意の有限群（アーベル群であるか否かを問わず）は周期的かつ有限生成である。一方、バーンサイドの問題は、有限生成の周期群は必ず有限群でなければならないのか、という問いである。周期が固定されている場合でも、一般に答えは「いいえ」である。
3. 体の乗法群のねじれ要素は、その体の1の冪根である。
4. 単位行列式を持つ2×2 整数行列の群 SL(2, Z ) から中心を因数分解して得られるモジュラー群Γでは、任意の非自明なねじれ要素は、位数が 2 で要素Sと共役であるか、位数が 3 で要素STと共役であるかのいずれかである。この場合、ねじれ要素は部分群を形成しない。例えば、S · ST = Tは位数が無限である。
5. 有理数を法 1 で割った値からなるアーベル群Q / Zは周期的であり、すなわちすべての要素は有限位数を持つ。同様に、 1 変数多項式の環R = K [ t ]上の加群K ( t )/ K [ t ]は純粋ねじれ加群である。これらの例は両方とも次のように一般化できる。R が整域であり、Q がその分数体である場合、 Q / RはねじれR加群である。  
6. ( R / Z , +) のねじれ部分群は( Q / Z , +) であり、群 ( R , +) と ( Z , +) はねじれなしである。ねじれなしアーベル群を部分群で割った商群は、部分群が純粋部分群である場合に限りねじれなしとなる。
7. 体K上の有限次元ベクトル空間Vに作用する線形作用素Lを考えます。Vを自然な方法でK [ L ] 加群とみなすと、（有限次元であることやケイリー・ハミルトンの定理など、多くのことから）VはねじれK [ L ] 加群になります。

Rを（可換）主イデアル整域とし、M を有限生成R加群とする。このとき、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除いて加群Mの詳細な記述を与える。特に、次のことが主張される。

${\displaystyle M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),}$

ここで、Fは有限ランクの自由R加群 ( Mのみに依存する) であり、T( M ) はMのねじれ部分加群である。系として、R上の任意の有限生成ねじれフリー加群は自由である。この系は、より一般的な可換領域、2 変数の多項式の環であるR = K [ x , y ]の場合でも成り立たない。有限生成でない加群の場合、上記の直接分解は成り立たない。アーベル群のねじれ部分群は、その群の直和因子ではない可能性がある。  

Rを可換整域、MをR加群とする。Qを環R の分数体とする。このとき、 Q加群を考えることができる。

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

スカラーの拡張によってMから得られる。Qは体であるため、 Q上の加群はベクトル空間であり、無限次元である可能性がある。MからM _Qへのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核はまさにねじれ部分加群 T( M ) である。より一般的に、 S が環Rの乗法的に閉じた部分集合である場合、 R加群Mの局所化を考えることができる。

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

これは局所化R _S上のモジュールです。MからM _Sへの標準写像が存在し、その核はまさにMのSねじれ部分モジュールです。したがって、 Mのねじれ部分モジュールは「局所化で消滅する」要素の集合として解釈できます。同じ解釈は、Ore 条件を満たす環の非可換設定、またはより一般的には任意の右分母集合Sと右RモジュールMに対しても引き続き成り立ちます。

ねじれの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たします。MとNが可換領域R上の2つの加群（例えば、R = Zの場合の2つのアーベル群）である場合、TorファンクターはR加 群の族Tor i ( M , N )を生成します。R_加群MのS-ねじれは、Tor R *^の_完全系列によってTor ^R ₁ ( M , R _S / R )と標準的に同型です。短い完全系列  ${\displaystyle 0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0}$Rモジュールの正確なシーケンスが得られます$\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$、したがって${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$はMの局所化マップの核である。関手を表す記号Tor は、代数的ねじれとのこの関係を反映している。この同じ結果は、集合Sが右分母集合である限り、非可換環にも当てはまる。

アーベル多様体のねじれ要素は、ねじれ点、あるいは古い用語では分割点と呼ばれます。楕円曲線上では、分割多項式を用いて計算することができます。

• 解析的ねじれ
• 算術力学
• フラットモジュール
• 消滅者（リング理論）
• モジュールのローカライズ
• アーベル群の階数
• レイ・シンガーねじれ
• ねじれのないアーベル群
• 普遍係数定理

• エルンスト・クンツ著「可換代数と代数幾何学入門」、ビルクハウザー社、1985年、 ISBN 0-8176-3065-1
• アーヴィング・カプランスキー、「無限アーベル群」、ミシガン大学、1954年。
• ミヒール・ハゼウィンケル(2001) [1994]、「ねじれ部分加群」、数学百科事典、EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), Exercises in modules and rings , Problem Books in Mathematics, New York: Springer, pp.  xviii+412, doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4MR 2278849​ 
• ローマン、スティーブン（2008）、『高度線形代数』、大学院数学テキスト（第3 版）、シュプリンガー、446ページ 、ISBN 978-0-387-72828-5。