単項式の順序

単項式の順序付けを全順序で選択することで、多項式の項を並べ替えることができます。したがって、多項式の先頭項は、（選択された単項式の順序付けにおいて）最大の単項式の項となります。

具体的には、R を任意の多項式環とする。このとき、 Rの（単項式）の集合M は、係数体上のベクトル空間とみなした場合、Rの基底となる。したがって、 Rの任意の非零多項式p は一意の式を持つ。 ${\displaystyle p=\textstyle \sum _{u\in S}c_{u}u}$単項式の線形結合 として表され、SはMの有限部分集合であり、c _uはすべて非ゼロです。単項式の順序が選択されると、先頭の単項式はSの中で最大のuであり、先頭の係数は対応するc _uであり、先頭の項は対応するc _u uです。先頭の単項式/係数/項は、「先頭」の同義語として使用されることがあります。一部の著者は、「項」の代わりに「単項式」を、「単項式」の代わりに「べき積」を使用しています。この記事では、単項式には係数が含まれないと仮定します。

単項式の順序付けに関する定義的な性質は、多項式と単項式を乗算する際に項の順序が保持されることを意味します。また、多項式の積の最高次項は、因数の最高次項の積になります。

辞書式順序(lex) は、まず単項式のx _{1の指数を比較し、等しい場合は}x ₂の指数を比較する、といった具合に比較を進めます。この名称は、単項式が不定数の指数の列で表される場合に、辞書の辞書式順序で一般的に用いられるアルファベット順と類似していることに由来します。不定数の数が固定されている場合 (通常は固定されています)、辞書式順序は整列順序となりますが、様々な長さの列に適用される辞書式順序の場合はそうではありません。

次数が最大で２の単項式の場合、２つの不定元${\displaystyle x_{1},x_{2}}$、辞書順（${\displaystyle x_{1}>x_{2}}$） は

$${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}>x_{2}^{2}>x_{2}>1.}$$

グロブナー基底の計算において、辞書式順序付けは最もコストがかかる傾向があるため、非常に単純な計算を除いて、可能な限り避けるべきである。

次数付き辞書式順序(grlex、または次数辞書式順序の場合は deglex ) は、まず総次数 (すべての指数の合計) を比較し、同点の場合は辞書式順序を適用します。この順序は整列であるだけでなく、任意の単項式の前に有限個の他の単項式しか存在しないという性質も持ちます。これは、yのすべての (無限個の) べき乗がxより小さい辞書式順序の場合とは異なります(辞書式順序が整列であることは、単項式の無限減少連鎖を構築することが不可能であることに関連しています)。

次数が最大で２の単項式の場合、２つの不定元${\displaystyle x_{1},x_{2}}$段階的な辞書順（${\displaystyle x_{1}>x_{2}}$） は

$${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}>x_{2}>1.}$$

この順序付けは非常に自然ではあるものの、めったに使用されません。次に示す、段階的逆辞書式順序のグロブナー基底の方が計算が容易で、入力多項式セットに関する同じ情報を提供します。

段階的逆辞書式順序(grevlex、または次数逆辞書式順序の場合は degrevlex ) は、まず合計次数を比較し、次に辞書式順序をタイブレーカーとして使用しますが、辞書式比較の結果を反転させて、同じ次数で辞書式的に大きい単項式は degrevlex より小さいとみなされます。最終的な順序が不定数の従来の順序x ₁ > x ₂ > ... > x _nを示すためには、反転前のタイブレーカー辞書式順序が最後の不定数x _{n を}最大とみなす必要があり、つまり、その不定数から開始する必要があります。段階的逆辞書式順序の具体的な手順は、まず総次数で比較し、次に最後の不定x _nの指数を比較しますが、結果を反転させます(指数が小さい単項式が順序で大きくなるように)。続いて (常に同点の場合のみ) x _{n −1の同様の比較を行い、} x ₁で終了します。

段階付き辞書式順序と段階付き逆辞書式順序の違いは微妙で、実際には1つと2つの不定元については一致する。最初の違いは、3つの不定元における2次単項式で、これらは段階付き辞書式順序で次のように並べられる。${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}^{2}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}}$しかし、逆辞書順にランク付けされている${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}}$一般的な傾向としては、逆順では任意の次数における最小の単項式の中にすべての変数が含まれるのに対し、逆順でない場合には任意の次数における最小の単項式の区間は最小の変数のみから形成される。

ブロック順序または消去順序(lexdeg) は任意の数のブロックに対して定義できますが、簡略化のため、ここでは 2 つのブロックの場合のみを考えます (ただし、ブロックの数が変数の数と等しい場合は、この順序は単に辞書式順序になります)。この順序付けでは、変数はx ₁、...、x _hとy ₁、...、y _kの 2 つのブロックに分割され、各ブロックに対して単項式の順序が選択されます。通常は、段階付き逆辞書式順序です。2 つの単項式は、 x の部分を比較することによって比較され、同点の場合はy の部分を比較します。この順序付けは、代数幾何学における射影に対応する操作である消去を可能にするため重要です。

重みの順序はベクトルに依存する$\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}}$重みベクトルと呼ばれる。まず、単項式の指数列のドット積をこの重みベクトルと比較し、同点の場合は別の固定された単項式の順序を使用する。たとえば、上記の段階的な順序は、「合計次数」重みベクトル (1,1,...,1) の重み順序である。a i が有理的に独立した数である場合(つまり_、特にそれらのどれもがゼロではなく、すべての分数である場合)${\displaystyle {\tfrac {a_{i}}{a_{j}}}}$が無理数である場合、同順位は決して発生せず、重みベクトル自体が単項式の順序を指定します。反対の場合、別の重みベクトルを使用して同順位を解消することができ、以下同様です。n 個の線形独立な重みベクトルを使用した後には、同順位は残らないはずです。実際、重みベクトルのシーケンスによって任意の単項式の順序を定義できます ( Coxら、 72～73 ページ)。たとえば、lex の場合は (1,0,0,...,0)、(0,1,0,...,0)、... (0,0,...,1)、grevlex の場合は (1,1,1,...,1)、(1,1,..., 1,0)、... (1,0,...,0) です。

例えば、単項式を考えてみましょう。${\displaystyle xy^{2}z}$、$\displaystyle z^{2}}$、${\displaystyle x^{3}}$、 そして${\displaystyle x^{2}z^{2}}$; 上記の単項式の順序は、これら 4 つの単項式を次のように順序付けます。

• レックス：${\displaystyle x^{3}>x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}}$（${\displaystyle x}$（優勢である）。
• グルレックス：${\displaystyle x^{2}z^{2}>xy^{2}z>x^{3}>z^{2}}$（総次数が支配的。より高いべき乗${\displaystyle x}$上位2名の同点を解消した。
• グレブレックス：${\displaystyle xy^{2}z>x^{2}z^{2}>x^{3}>z^{2}}$（総次数が支配的。${\displaystyle z}$上位2名の同点を解消した。
• 重みベクトル(1,2,4)による重み順序：${\displaystyle x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}>x^{3}}$（内積10 > 9 > 8 > 3では、ここで決着をつけるべき同順位は存在しない。）