モジュール理論の用語集

モジュール理論は、モジュールを研究する数学の分野です。これは、この分野のいくつかの用語の用語集です。

参照:線型代数の用語集、環理論の用語集、表現論の用語集。

代数的にコンパクト

代数的にコンパクトなモジュール（純粋単射モジュールとも呼ばれる）は、すべての方程式系が有限手段によって決定できるモジュールです。あるいは、Hom を適用した後も純粋正確なシーケンスが正確であるモジュールです。

殲滅者

1.左- 加群の消滅子は集合 である 。これは の (左)イデアルである。${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\textrm {Ann}}(M):=\{r\in R~|~rm=0\,\forall m\in M\}}$${\displaystyle R}$

2. 要素の消滅子は集合です。${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle {\textrm {Ann}}(m):=\{r\in R~|~rm=0\}}$

アルティニアン

アルティニアン モジュールは、サブモジュールのすべての減少チェーンが有限個のステップの後に定常になるモジュールです。

関連プライム

1.  関連プライム

自己同型性

自己同型は自己準同型であり、同型でもあります。

あずまや

東谷の定理によれば、局所自己準同型環を持つ加群への 2 つの分解は同値である。

バランスのとれた

バランスモジュール

基礎

モジュールの基底は、モジュール内のすべての要素が基底内の要素の有限和として一意に表現できる要素の集合です。${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ボーヴィル＝ラズロ

ボーヴィル・ラズロの定理

大きい

「大きい」というのは通常、「必ずしも有限に生成されるわけではない」という意味です。

バイモジュール

バイモジュール

正規モジュール

正規モジュール（「正規」という用語は、正規除数に由来します）

カテゴリ

環上の加群のカテゴリは、オブジェクトが与えられた環上のすべての（たとえば）左加群であり、射が加群準同型であるカテゴリです。

キャラクター

文字モジュール

チェーン複合体

連鎖複合体（多くの場合、単に複合体）

閉じたサブモジュール

モジュールに必須の拡張機能が含まれていない場合、そのモジュールは閉じたサブモジュールと呼ばれます。

コーエン・マコーレー

コーエン・マコーレーモジュール

筋の通った

コヒーレントモジュールとは、有限生成サブモジュールが有限に提示される有限生成モジュールです。

コカーネル

モジュール準同型の余核は、余領域を像で割ったものです。

コンパクト

コンパクトなモジュール

完全に還元可能

「半単純モジュール」と同義です。

完了

モジュールの完了

構成

ジョーダン・ヘルダー作曲シリーズ

連続した

連続モジュール

数えられるほど生成された

可算生成モジュールとは、その基数が最大で可算である生成集合を許容するモジュールです。

周期的な

モジュールが 1 つの要素によって生成される場合、そのモジュールは循環モジュールと呼ばれます。

だ

D モジュールは、微分演算子のリング上のモジュールです。

分解

モジュールの分解は、モジュールをサブモジュールの直和として表現する方法です。

密集

密なサブモジュール

決定要因

可換環上の有限自由加群の行列式は、r が加群の階数であるとき、加群のr番目の外冪です。

差額

差動傾斜モジュールまたはdg モジュールは、差動を備えた傾斜モジュールです。

直和

モジュールの直和は、基礎となるアーベル群の直和と成分ごとのスカラー乗算を組み合わせたモジュールです。

デュアルモジュール

可換環R上の加群Mの双対加群は加群です。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$

二重化

デュアル化モジュール

ドリンフェルト

ドリンフェルト加群は、有限体からの係数を持つ代数曲線上の関数の環上の加群です。

アイレンベルク・マズール

アイレンベルグ・マズール詐欺

初歩的な

基本除数

準同型性

1.自己準同型とは、モジュールからそれ自身へのモジュール準同型です。

2.自己準同型環は、関数の加算と関数の乗法合成としての加法を持つすべての加群準同型の集合です。

十分

十分な注入語

十分な投影

不可欠

モジュールMが与えられたとき、Mの本質的なサブモジュール N は、 Mのすべての非ゼロのサブモジュールが非自明に交差するサブモジュールです。

ちょうど

正確な順序

Ext 関数

Ext 関数

拡大

スカラーの拡張では、RからSへの環準同型を使用して、RモジュールをSモジュールに変換します。

忠実な

忠実な加群 とは、上の各非零の作用が非自明である（つまり、内のいくつかの に対して）加群のことである。同様に、は零点イデアルである。${\displaystyle M}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle rx\neq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\textrm {アン}}(M)}$

有限

「有限モジュール」という用語は、有限生成モジュールの別名です。

有限の長さ

有限長のモジュールは、（有限の）合成シリーズを許容するモジュールです。

有限プレゼンテーション

1.モジュールMの有限自由表現は、有限生成自由モジュールである正確なシーケンスです。${\displaystyle F_{1}\to F_{0}\to M}$${\displaystyle F_{i}}$

2.有限に提示されたモジュールは、有限の自由提示を許容するモジュールです。

有限生成

モジュールが有限生成であるとは、に有限個の元が存在し、 のすべての元が、スカラー環 からの係数を持つそれらの元の有限線形結合である場合です。${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

フィッティング

1.  理想的なフィット

2.  フィッティングの補題

五

5つの補題

フラット

テンソル積関数が正確である場合、- 加群は平坦加群と呼ばれます。特に、すべての射影加群は平坦です。${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -\otimes _{R}F}$

無料

自由加群は、基底を持つ加群、またはそれと同等に、スカラー環のコピーの直和に同型な加群です。${\displaystyle R}$

フロベニウスの相互性

フロベニウスの相互性。

ガロア

ガロア加群はガロア群の群環上の加群です。

発電セット

モジュールのサブセットは、セットによって生成されるサブモジュール (つまり、セットを含む最小のサブセット) がモジュール全体である場合、モジュールの生成セットと呼ばれます。

グローバル

グローバル次元

段階的

次数付き環上の加群は、が直和として表すことができる場合、次数付き加群と呼ばれます。${\displaystyle M}$${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i}}$${\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

エルブラン商

モジュール準同型のエルブランド商は、インデックスの別名です。

ヒルベルト

1.  ヒルベルトの朔望定理

2.次数付きモジュールのヒルベルト・ポアンカレ級数。

3.ヒルベルト・セール定理は、ヒルベルト・ポアンカレ級数が有理関数である場合を示します。

ホモロジー次元

ホモロジー次元

準同型

2 つの左- 加群に対して、のとき、群準同型は- 加群の準同型と呼ばれる。${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle \phi :M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\,\forall r\in R,m\in M_{1}}$

ホム

Hom 関数

べき等性

べき等性とは、その平方がそれ自身である自己準同型性です。

分解できない

分解不可能なモジュールとは、2 つの非ゼロ サブモジュールの直和として記述できない非ゼロ モジュールです。すべての単純なモジュールは分解不可能です (ただし、その逆は成り立ちません)。

索引

自己準同型の指数は、 の余核と核の長さが有限であるときの差です。${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle \operatorname {長さ} (\operatorname {coker} (f))-\operatorname {長さ} (\operatorname {ker} (f))}$${\displaystyle f}$

単射的

1. - 加群準同型 と、入射- 加群準同型が与えられたとき、 となる- 加群準同型が存在する場合、 -加群は入射的加群と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g:X\to Q}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h:Y\to Q}$${\displaystyle f\circ h=g}$

以下の条件は同等です。

• 反変関数は正確です。${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(-,I)}$
• ${\displaystyle I}$は注入モジュールです。
• すべての短い正確なシーケンスは分割されます。${\displaystyle 0\to I\to L\to L'\to 0}$

ジェイコブソン

ヤコブソンの密度定理

ケーラー微分

ケーラー微分

カプランスキー

射影加群に関するカプランスキーの定理によれば、局所環上の射影加群は自由である。

カーネル

モジュール準同型の核は、ゼロ元の原像です。

コズルコンプレックス

コズルコンプレックス

クルル・シュミット

クルル・シュミットの定理は、(1)有限長モジュールは分解不可能な分解を許容し、(2)そのモジュールの任意の2つの分解不可能な分解は同値である、ということを述べています。

長さ

モジュールの長さは、モジュールの任意の合成シリーズの共通の長さです。合成シリーズがない場合、長さは無限大です。体上では、長さは次元としてよく知られています。

リニア

1. 線型写像は、加群準同型の別名です。

2.  線形トポロジー

ローカリゼーション

モジュールのローカリゼーションは、RモジュールをSモジュールに変換します。ここで、 SはRのローカリゼーションです。

Matlis モジュール

Matlis モジュール

ミッチェルの埋め込み定理

ミッチェルの埋め込み定理

ミッタク・レフラー

ミッタク・レフラー条件(ML)

モジュール

1.リング上の左加群 は、スカラー乗算と呼ばれる演算が次の条件を満たす アーベル群です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (M,+)}$${\displaystyle R\times M\to M}$

${\displaystyle \forall r,s\in R,\forall m,n\in M}$、

1. ${\displaystyle r(m+n)=rm+rn}$
2. ${\displaystyle r(sm)=(rs)m}$
3. ${\displaystyle 1_{R}\,m=m}$

2.環上の右加群 は、次の条件を満たす 演算を持つアーベル群です。${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (M,+)}$${\displaystyle M\times R\to M}$

${\displaystyle \forall r,s\in R,\forall m,n\in M}$、

1. ${\displaystyle (m+n)r=mr+nr}$
2. ${\displaystyle (ms)r=r(sm)}$
3. ${\displaystyle m1_{R}=m}$

無力な

べき零自己準同型とは、その一部のべきがゼロである自己準同型です。

ネーター派

ネーターモジュールとは、すべてのサブモジュールが有限生成されるモジュールです。同様に、サブモジュールの増加チェーンはすべて、有限ステップ後に定常になります。

普通

行列の正規形

完璧

1.  完璧な複合体

2.  完璧なモジュール

主要

主不分割モジュールは巡回不分割射影モジュールです。

主要な

プライマリサブモジュール

射影的

-加群は、 - 加群準同型と、射影- 加群準同型が与えられたときに、となる- 加群準同型 が存在する場合、射影加群と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g:P\to M}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h:P\to N}$${\displaystyle f\circ h=g}$

以下の条件は同等です。

• 共変関数は正確です。${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(P,-)}$
• ${\displaystyle M}$射影モジュールです。
• すべての短い正確なシーケンスは分割されます。${\displaystyle 0\to L\to L'\to P\to 0}$
• ${\displaystyle M}$自由モジュールの直和です。

特に、すべての自由モジュールは射影的です。

キレン・ススリン定理

キレン・ススリン定理は、多項式環上の有限射影加群は自由であることを述べています。

商

左- 加群とサブ加群が与えられている場合、によって商群をの左 - 加群にすることができます。これは商加群または因子加群と呼ばれます。${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M/N}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r(m+N)=rm+N}$${\displaystyle r\in R,\,m\in M}$

ラジカル

モジュールの根号は、最大サブモジュールの共通部分です。アルティン モジュールの場合、半単純商を持つ最小のサブモジュールです。

ラショナル

有理標準形

反射的な

反射モジュールとは、その 2 番目の双対への自然写像を介して同型となるモジュールです。

解決

解決

制限

スカラーの制限は、RからSへの環準同型を使用して、SモジュールをRモジュールに変換します。

シャヌエル

シャヌエルの補題

シュール

シューアの補題によれば、単純加群の自己準同型環は除算環である。

シャピロ

シャピロの補題

モジュールの束

モジュールの束

蛇

蛇の補題

ソクル

ソークルは最大の半単純サブモジュールです。

半単純

半単純モジュールは単純モジュールの直和です。

単純

単純モジュールとは、サブモジュールがゼロとそれ自身だけである非ゼロモジュールです。

スミス

スミス正規形

安定的に無料

安定した無料モジュール

構造定理

主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理は、 PID上の有限生成加群は主巡回加群の有限直和であると述べています。

サブモジュール

- 加法群が与えられたとき、の加法部分群は、 であれば部分加法群となります。${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle RN\subset N}$

サポート

可換環上のモジュールのサポートは、モジュールの局所化がゼロでない素イデアルの集合です。

テンソル

モジュールのテンソル積

位相的な

位相モジュール

トル

Tor 関数

ねじれのない

ねじれのないモジュール

ねじれのない

ねじれのないモジュール

制服

均一モジュールとは、2 つの非ゼロのサブモジュールごとに非ゼロの交差を持つモジュールです。

弱い

弱い次元

ゼロ

1.ゼロモジュールは、ゼロ要素のみで構成されるモジュールです。

2.ゼロ モジュール準同型は、すべての要素をゼロにマッピングするモジュール準同型です。

• John A. Beachy (1999)。環とモジュール入門講義（第 1 版）。Addison - Wesley。ISBN 0-521-64407-0。
• ゴラン、ジョナサン S.; ヘッド、トム (1991)、「モジュールと環の構造」、純粋および応用数学のモノグラフと教科書、第 147 巻、マルセル デッカー、ISBN 978-0-8247-8555-0、MR  1201818
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• セルジュ・ラング(1993)。代数学(第 3 版) 。Addison - Wesley。ISBN 0-201-55540-9。
• パスマン、ドナルド S. (1991)、「環理論のコース」、ワズワース & ブルックス/コール数学シリーズ、パシフィックグローブ、カリフォルニア州: ワズワース & ブルックス/コール アドバンスト ブックス & ソフトウェア、ISBN 978-0-534-13776-2、MR  1096302