ユニブランチローカルリング

代数幾何学において、局所環 A が単枝であるとは、被約環 A _red ( A をそのnilradicalで割ることで得られる) が整域であり、A _redの整閉包 Bも局所環であるときである。^[要出典]単枝局所環が幾何学的に単枝であるとは、Bの剰余体がA _redの剰余体の純粋に分離不可能な拡大であるときである。複素多様体Xが点xにおいて位相的に単枝であるとは、 Xの閉じた代数的部分集合のすべての補集合Yに対して、 Yとの交差点が連結されているxの近傍の基本システム (古典的位相において) が存在するときである。

特に、正規環は単枝環です。単枝環と幾何学的に単枝点の概念は、代数幾何学のいくつかの定理で使用されます。たとえば、次の結果があります。

定理 ^[1] XとY を2 つの整局所ノイザンスキームと適切な優性射とする。それらの関数体をそれぞれK(X)とK(Y)で表す。K (X)におけるK (Y)の代数閉包が可分次数nを持ち、単分岐であるとする。このとき、ファイバーは最大でn 個の連結成分を持つ。特に、f が双有理である場合、単分岐点のファイバーは連結されている。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$

EGA では、定理はザリスキの主定理の系として得られます。