ヒルベルトの基底定理

仮定する${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$は非有限生成左イデアルである。すると、再帰（依存選択公理を使用）により、多項式の列が存在する。${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$もし${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$は、によって生成される左イデアルです。${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$それから${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$は最小限の程度である。構成上、${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$は自然数の非減少数列である。${\displaystyle a_{n}}$の主要係数となる${\displaystyle f_{n}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$左派の理想${\displaystyle R}$によって生成されました${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$。 以来${\displaystyle R}$ネーター的イデアルの連鎖は

$${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$$

終了しなければならない。したがって${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$ある整数に対して${\displaystyle N}$なので特に、

$${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$$

次に考えてみましょう

$${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$$

その先頭の項は${\displaystyle f_{N}}$; さらに、${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$。 しかし、${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$つまり、${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$次数が${\displaystyle f_{N}}$ミニマリズムに反する。

させて${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$左派の理想とする。${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$の要素の主係数の集合とする${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$これは明らかに左派の理想である${\displaystyle R}$、したがって、有限個の要素の先頭係数によって有限に生成される。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$; 言う${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$。 させて${\displaystyle d}$セットの最大値である${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$、そして${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$の要素の主係数の集合とする${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$学位は${\displaystyle \leq k}$以前と同様に、${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$理想が残されている${\displaystyle R}$、したがって、有限個の要素の先頭係数によって有限に生成される。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$、 言う

$${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$$

学位を取得${\displaystyle \leq k}$では、${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$左イデアルは以下によって生成される。

$${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$$

我々は持っています${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$そしてまた主張する${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$矛盾を生じさせるために、これがそうでないと仮定する。すると、${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$は最小次数であり、その最高次係数をで表す。${\displaystyle a}$。

ケース1：${\displaystyle \deg(h)\geq d}$この状況に関わらず、${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$、 それで${\displaystyle a}$左線形結合

$${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$$

係数の${\displaystyle f_{j}}$。 考慮する

$${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$$

先頭の項が同じである${\displaystyle h}$; さらに${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$その間${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$。 したがって${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$そして${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$これはミニマリズムに反する。

ケース2：${\displaystyle \deg(h)=k<d}$。 それから${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$それで${\displaystyle a}$左線形結合

$${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$$

の主要係数の${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$検討する

$${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$$

ケース1と同様の矛盾が生じる。

したがって、我々の主張は成り立ち、${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$これは有限生成である。

2 つのケースに分割する必要があった唯一の理由は、${\displaystyle X}$構成において、因数を掛け合わせると非負となる。