滑らかな射影

代数幾何学では、スキーム間の射が滑らかであるとは、 ${\displaystyle f:X\to S}$

• （i）局所的に有限表現である
• （ii）平坦であり、
• (iii) すべての幾何学的点 に対して繊維は規則的である。${\displaystyle {\overline {s}}\to S}$${\displaystyle X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}}$

(iii) は、 fの各幾何ファイバーが非特異多様体であることを意味します(分離されている場合)。したがって、直感的に言えば、滑らかな射影は非特異多様体の平坦な族を与えます。

S が代数的に閉じた体のスペクトルであり、fが有限型である場合、非特異多様体の定義が回復されます。

特異多様体は、近くの繊維がすべて滑らかになるように平坦な族に入れることができる場合、平滑化可能と呼ばれます。このような族は、多様体の平滑化と呼ばれます。

滑らかな射影には同値な定義が多数あります。 を局所的に有限表現とします。すると、以下は同値になります。 ${\displaystyle f:X\to S}$

1. fは滑らかです。
2. f は形式的に滑らかです (下記参照)。
3. fは平坦であり、相対微分層の階層は の相対次元に等しい階数から局所的に自由である。${\displaystyle \オメガ_{X/S}}$${\displaystyle X/S}$
4. 任意の に対して、 x の近傍との近傍が存在して、のm行m列の小行列式によって生成されるイデアルはBです。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})}$${\displaystyle (\partial P_{i}/\partial t_{j})}$
5. 局所的には、f はgがエタールであるところに因数分解されます。${\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S}$

有限型の射は、滑らかで準有限である場合にのみエタールです。

滑らかな射影は、基底の変更と合成に対して安定です。

滑らかな射影は普遍的に局所的に非巡回です。

滑らかな射影は、微分幾何学における滑らかな沈み込みに幾何学的に対応すると考えられています。つまり、それらはある基本空間上の滑らかな局所的に自明なファイバリングです（エーレスマンの定理による）。

をスキームの射影と する${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

ヤコビ行列が滑らかであるのは、ヤコビ行列の条件によるものである。

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

多項式と交差する 点では消える。なぜなら${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

どちらもゼロではありません。

滑らかなスキームが与えられた場合、射影写像 ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\times X\to X}$

滑らかです。

スキーム上の任意のベクトル束は滑らかな射影である。例えば、スキーム上の関連するベクトル束は、重み付き射影空間から点を引いたものである ことが示される。${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

送信

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

直和バンドルはファイバー積を使って構築できる ことに注意する${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

体拡張は、プレゼンテーションが与えられた場合に限り分離可能と呼ばれること を思い出してください。${\displaystyle K\to L}$

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

となる。この定義をケーラー微分の観点から次のように再解釈することができる。体拡大が分離可能であるのは、 ${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$

${\displaystyle \オメガ _{L/K}=0}$

これには、有限体と特性 0 の体など、すべての完全体が含まれることに注意してください。

射影多様体 の基礎となる代数 を のアフィン円錐と呼ぶとすると、原点の点は常に特異である。例えば、次式で表される 五次多様体のアフィン円錐を考える。${\displaystyle {\text{仕様}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 3}$

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

するとヤコビ行列は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

これは原点で消えるため、円錐は特異です。このようなアフィン超曲面は、代数が比較的単純でありながら基礎構造が豊富なため、特異点理論で人気があります。

特異多様体のもう一つの例は、滑らかな射影多様体の射影錐である。滑らかな射影多様体を考えると、その射影錐は、と交わるすべての直線の和集合となる。例えば、点の射影錐は、 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

計画は

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

チャートを見てみると、これがその仕組みです ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

これをアフィン直線に投影すると、原点で退化する 4 つの点の族が得られます。このスキームの非特異性は、ヤコビアン条件を使用して確認することもできます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$

フラットファミリーを考える

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

すると、原点以外の繊維はすべて滑らかになります。滑らかさは基底の変化に対して安定しているため、この族は滑らかではありません。

例えば、体は非可分なので、スキームの関連する射影は滑らかではない。体拡大の最小多項式を見ると、 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

すると、ケーラー微分はゼロ以外になります。 ${\displaystyle df=0}$

滑らかさは幾何学を参照せずに定義できます。任意のアフィンSスキームTと冪零イデアルによって与えられたTのサブスキームに対して、 が射影的 (ここで と書きました)である場合、 SスキームX は形式的に滑らかであると言えます。すると、有限表示の局所的射が滑らかであるのは、形式的に滑らかな場合のみです。 ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$${\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)}$

「形式的に滑らか」の定義において、全射を全単射（または単射）に置き換えると、形式的にエタール（または形式的に非分岐）の定義が得られます。

S をスキームとし、構造写像 の像を表すものとします。滑らかな基底変換定理は、を上の準コンパクト射、滑らかな射、および捩れ層 とすることを述べています。内の任意の に対して が単射である場合、基底変換射は同型です。 ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$${\displaystyle S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle g:S'\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle 0\neq p}$${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

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• JS ミルン(2012)。 「エタールコホモロジー講義」
• JS ミルン。エタールコホモロジー、プリンストン数学シリーズ第 33 巻。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー、1980 年。