ケーラー差動装置

S上のR線形微分はR加群準同型である${\displaystyle d:S\to M}$ライプニッツ規則を満たすS加群Mへ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$（この定義から、 Rの像がd ^{[ 1 ]}の核に含まれることが自動的に導かれる。）ケーラー微分モジュールはSモジュールとして定義される。$\displaystyle \Omega _{S/R}}$普遍的な導出が存在する$d:S→ΩS/R$他の普遍性と同様に、これは、d が最良の導出であることを意味します。つまり、他の任意の導出は、 S加群準同型との合成によって d から得られるということです。言い換えれば、dとの合成は、すべてのS加群Mに対して、S加群同型を提供します。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Ω _{S / R}とdの構成の 1 つは、Sの各sに対して1 つの形式生成元dsを持つ自由Sモジュールを構築し、関係を課すことによって進められます。

• dr = 0、
• d ( s + t ) = ds + dt、
• d ( st ) = s dt + t ds、

RのすべてのrとSのすべてのsおよびtについて。普遍微分はs をdsに写像する。これらの関係から、普遍微分はR加群の準同型写像であることがわかる。

別の構成法としては、I をテンソル積のイデアルとする。${\displaystyle S\otimes _{R}S}$乗算マップの核として定義される

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

すると、 Sのケーラー微分モジュールは^{[ 2 ]}によって等価的に定義できる。

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

そして普遍導出は、次のように定義される準同型dである。

${\displaystyle ds=1\otimes ss\otimes 1.}$

この構成は、 I が射影の核であるため、前の構成と同等である。

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

したがって、次のようになります。

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

それから${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$相補的投影によって誘導されるマップによって、Iと同一視される可能性がある

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

これは、 Sのsに対する形式生成元dsによって生成されるS加群をIと同一視する。ただし、d はR加群の準同型写像であり、 Rの各要素をゼロに写すものとする。I ²で商をとると、ライプニッツの規則が正確に課せられる。

以前と同様に、地図を修正します。${\displaystyle X\to Y}$より高次の微分形式は、外部のべき乗（${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$)

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

導出${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$自然な形で一連のマップへと拡張される

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

満足${\displaystyle d\circ d=0.}$これは、ド・ラーム複合体として知られるコチェイン複合体です。

ド・ラーム複体は、ウェッジ積という追加の乗法構造を持つ。

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

これにより、ド・ラーム複体は可換微分次数付き代数に変わります。また、外部代数から受け継いだ余代数構造も持ちます。^{[ 3 ]}

層のド・ラーム複体のハイパーコホモロジーは、Y 上の X の代数的ド・ラームコホモロジーと呼ばれ、次のように表される。${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$または単に${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$Y が文脈から明らかである場合。（多くの場合、 Yは標数0の体のスペクトルです。）代数的ド・ラーム コホモロジーは、グロタンディーク (1966a)によって導入されました。これは結晶コホモロジーと密接に関連しています。

他の準連接層の連接コホモロジーでよく知られているように、 X = Spec SおよびY = Spec Rがアフィン スキームである場合、ド ラーム コホモロジーの計算は簡略化されます。この場合、アフィン スキームには高次のコホモロジーがないため、${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$アーベル群の複体のコホモロジーとして計算できる

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

つまり、用語的には、層のグローバルセクションである。${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$。

非常に具体的な例を挙げると、${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$乗法群は${\displaystyle \mathbb {Q} .}$これはアフィンスキームであるため、ハイパーコホモロジーは通常のコホモロジーに帰着する。代数的ド・ラーム複体は

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

微分d は通常の微積分法の規則に従う、つまり${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$カーネルとコカーネルは代数的ド・ラームコホモロジーを計算するので、

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

そして他のすべての代数的ド・ラームコホモロジー群はゼロである。比較のために、代数的ド・ラームコホモロジー群は${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$はるかに大きい、すなわち、

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

これらのコホモロジー群のベッチ数が期待どおりではないため、この問題を解決するために結晶コホモロジーが開発されました。結晶コホモロジーは、有限体上のワイルコホモロジー理論を定義します。

X が滑らかな複素代数多様体である場合、層の複体の自然な比較写像が存在する。

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

代数的ド・ラーム複素数と、(複素数値)微分形式によって定義される滑らかなド・ラーム複素数との間の関係${\displaystyle X^{\text{an}}}$、Xに関連付けられた複素多様体。ここで、${\textstyle (-)^{\text{an}}}$は複素解析関手を表す。この写像は同型写像とは程遠い。しかしながら、グロタンディーク（1966a）は比較写像が同型写像を誘導することを示した。

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

代数的ド・ラームコホモロジーから滑らかなド・ラームコホモロジーへ（そして特異コホモロジーへ）${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$（ド・ラームの定理による）。特に、Xが滑らかなアフィン代数多様体で、${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ならば、代数微分形式の部分複体をX上のすべての滑らかな形式の部分複体に含めることは準同型写像である。例えば、

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$、

そして、上記のように、代数的ド・ラームコホモロジーの計算により明示的な生成子が得られる。${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$のために${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$そして${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$それぞれ、他のすべてのコホモロジー群は消滅する。X は円とホモトピー同値であるため、これはグロタンディークの定理によって予測されるとおりである。

特異なケースにおける反例は、次数付きリングのような非デュボア特異点に見出すことができる。${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$と${\displaystyle y}$どこ${\displaystyle \deg(y)=3}$そして${\displaystyle \deg(x)=2}$^{[ 4 ]}他の反例は、ミルナー数とチュリナ数が等しくない孤立特異点を持つ代数平面曲線に見出すことができる。^{[ 5 ]}

Cisinski & Déglise (2013)は、混合ワイルコホモロジー理論の概念を用いたグロタンディークの定理の証明を与えた。

X が体k上の滑らかな多様体である場合、${\displaystyle \Omega _{X/k}}$はベクトルバンドル（つまり、局所的に自由）です${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$Xの次元に等しいランクの -モジュール) 。これは特に、

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

は線束、あるいは同等に因子です。これは標準因子と呼ばれます。標準因子は、双対化複体であることが分かっており、そのため、セル双対性やヴェルディエ双対性など、代数幾何学のさまざまな重要な定理に現れます。

体k上の次元dの滑らかな代数多様体Xの幾何学的種数は、次元として定義される。

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

曲線の場合、この純粋に代数的な定義は位相幾何学的な定義と一致します（${\displaystyle k=\mathbb {C} }$）は、 Xに関連付けられたリーマン面の「ハンドルの数」として定義されます。曲線の種数に応じて、幾何学的および算術的性質はかなり明確に三分化されます。g はそれぞれ0 (有理曲線)、1 (楕円曲線)、および 1 より大きい (双曲リーマン面、超楕円曲線を含む) です。

滑らかな多様体Xの接束は、定義により、余接層の双対である。${\displaystyle \Omega _{X/k}}$リーマン・ロッホの定理とその広範な一般化であるグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、接束のトッド類を重要な要素として含んでいる。

微分層は様々な代数幾何学的概念と関連している。射${\displaystyle f:X\to Y}$計画の分岐がないのは、${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$はゼロである。^{[ 6 ]}この主張の特殊なケースは、体kに対して、${\displaystyle K:=k[t]/f}$k上で分離可能であるのは、${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$これは上記の計算からも読み取ることができます。

有限型の射fは、平坦で、かつ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ローカルフリー${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-適切なランクのモジュール。${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$上記はアフィン空間からの射影を示しています${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$滑らかです。

周期は、大まかに言えば、特定の算術的に定義された微分形式の積分である。 ^{[ 7 ]}周期の最も単純な例は${\displaystyle 2\pi i}$これは、

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

代数的ド・ラームコホモロジーは、次のように周期を構成するために用いられる。^{[ 8 ]}上で定義された代数多様体Xに対して${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$上述の塩基置換との適合性により自然な同型性が生じる

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

一方、右手のコホモロジー群は複素多様体のド・ラームコホモロジーと同型である。${\displaystyle X^{\text{an}}}$Xに関連付けられている、ここでは${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$また別の古典的な結果であるド・ラームの定理は、後者のコホモロジー群と複素係数を持つ特異コホモロジー（または層コホモロジー）との同型性を主張している。${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$普遍係数定理により、それはさらに同型である${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$これらの同型写像を合成すると、2 つの有理ベクトル空間が得られ、テンソル演算を行うと、${\displaystyle \mathbb {C} }$同型になる。これらの有理部分空間（格子とも呼ばれる）の基底を選択すると、基底変換行列の行列式は複素数となり、有理数による乗算を除いて明確に定義される。このような数は周期である。

代数的整数論では、ケーラー微分を用いて代数的数体の拡大における分岐を研究することができる。L / K がそれぞれ整数環RとSを持つ有限拡大である場合、分岐データを符号化する異なるイデアルδ _{L / K}は、R加群Ω _{R / S}の零化イデアルである。^{[ 9 ]}

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$