完璧な指輪

環論として知られる抽象代数の分野において、左完全環は、すべての左加群が射影被覆を持つタイプの環である。右の場合は類推によって定義され、条件は左右対称ではない。つまり、片側が完全だがもう一方が完全ではない環が存在する。完全環はバスの本で紹介された。^[1]

半完全環とは、すべての有限生成左加群が射影被覆を持つ環です。この性質は左右対称です。

左完全環Rの同値な定義は、アダーソンとフラーによる以下の定義に見られる: ^[2]

• すべての左Rモジュールには射影カバーがあります。
• R /J( R ) は半単純であり、 J( R ) は左 T 冪零です（つまり、 J( R ) の元の無限列ごとに、最初のn項の積がゼロになるnが存在します）。ここで、 J( R ) はRのヤコブソン根号です。
• (バスの定理 P ) R は主右イデアル上の下降連鎖条件を満たします。 (間違いではありません。右主イデアル上のこの条件は、環が左完全であることと同等です。)
• すべての平坦な左R加群は射影的である。
• R /J( R )は半単純であり、すべての非ゼロ左R加群には最大部分加群が含まれる。
• Rには無限直交べき等集合は含まれず、すべての非ゼロ右Rモジュールには最小サブモジュールが含まれます。

• 右または左のアルティン環、および半一次環は、右と左が完全であることが知られています。
• 以下は、右完全だが左完全ではない局所環の例（Bass による）です。 Fを体とし、 F 上の無限行列の特定の環を考えます。

でインデックス付けされた要素を持つ無限行列の集合を取り、その要素は有限個のみの非ゼロ要素を持ち、それらはすべて対角線より上にあります。この集合を と表記します。また、対角線がすべて 1 である行列を取り、集合を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$${\displaystyle J}$${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}$

Rは単位元を持つ環であり、そのヤコブソン根号はJであることが示される。さらに、R / Jは体であるため、R は局所的であり、Rは右完全だが左完全ではない。^[3]

左完全環Rの場合:

• 上記の同値から、すべての左R加群には最大サブ加群と射影被覆があり、平坦な左R加群は射影左加群と一致します。
• Baer の基準の類似は射影モジュールにも当てはまります。^{[引用が必要]}

R を環とします。次の同等の条件のいずれかが満たされる場合 、 R は半完全です。

• R /J( R ) は半単純であり、べき等性はJ( R ) を法として持ち上がります。ここで、 J( R ) はRのヤコブソン根号です。
• R には、各e _i Re _{i が}局所環であるような冪等性の完全な直交集合e ₁ , ..., e _nがあります。
• すべての単純な左 (右) R加群には射影被覆があります。
• すべての有限生成左（右）Rモジュールには射影被覆があります。
• 有限生成射影- 加群のカテゴリはKrull-Schmidtです。 ${\displaystyle R}$

半完全リン​​グの例には次のものがあります。

• 左（右）完璧なリング。
• ローカルリング。
• 射影加群に関するカプランスキーの定理
• 左（右）アルティニアン環。
• 有限 次元k代数。

環Rが半完全であるためには、すべての単純左R加群に射影被覆が必要です。したがって、半完全環に 同値なすべての森田環も半完全です。