導体（環理論）

数学の一分野である環論において、導体は可換環と拡大環がどれだけ離れているかを示す尺度です。ほとんどの場合、大きい方の環はその分数の体において整閉領域であり、導体は小さい方の環が整閉でないことを測ります。

導体は代数体の整数環における非最大順序の研究において非常に重要です。導体の 1 つの解釈は、導体が素イデアルへの一意の因数分解の失敗を測定するというものです。

AとBを可換環とし、A⊆Bとする。BにおけるAの伝導体[ ^1]は理想環である。

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Ann} _{A}(B/A).}$

ここで、B  / AはA加群の商とみなされ、Annは消滅器を表す。より具体的には、導体は集合である。

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\{a\in A\colon aB\subseteq A\}.}$

導体は消滅子として定義されているため、 Aのイデアルです。

Bが整域である場合、導体は次のように書き直される。

${\displaystyle \{0\}\cup \left\{a\in A\setminus \{0\}:B\subseteq \textstyle {\frac {1}{a}}A\right\},}$

ここで、 はBの分数体のサブセットと見なされます。つまり、a がゼロでなく導体内にある場合、Bのすべての要素は、分子がAにあり、分母がaである分数として表すことができます。したがって、導体のゼロでない要素は、 Bの要素をAの要素の商として表すときに共通分母として十分な要素です。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{a}}A}$

R がB を含む環であるとする。例えば、R はBに等しいかもしれないし、B が定義域でRがその分数体であるかもしれない。その場合、1 ∈ Bなので、導体は

${\displaystyle \{r\in R:rB\subseteq A\}.}$

導体が環A 全体となるのは、それが1 ∈ Aを含む場合のみであり、したがってA = Bとなる場合のみである。それ以外の場合、導体はAの真イデアルである。

指数m = [ B  : A ]が有限であれば、mB ⊆ Aとなるので、 となる。この場合、導体はゼロではない。これは特に、B が代数体における整数の環であり、Aが順序（B  / Aが有限である部分環）である場合に当てはまる。 ${\displaystyle m\in {\mathfrak {f}}(B/A)}$

導体はBのイデアルでもあります。なぜなら、Bの任意のbと の任意のaについて、baB ⊆ aB ⊆ Aだからです。実際、BのイデアルJ がAに含まれるのは、 J が導体に含まれる場合のみです。確かに、そのようなJについて、JB ⊆ J ⊆ Aなので、定義によりJは に含まれます。 逆に、導体はAのイデアルなので、それに含まれる任意のイデアルはAに含まれます。この事実は、 がAの最大のイデアルであり、それがBのイデアルでもあることを意味します。(導体に含まれるAのイデアルがBのイデアルでない場合もあります。) ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$

S がAの乗法部分集合であると仮定する。すると

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)\subseteq {\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A),}$

B が有限生成 Aモジュールである場合も等式となります。

導体の最も重要な応用のいくつかは、B がデデキント領域で B / A が有限であるときに発生します。たとえば、Bは 数体の整数の環で、A は非最大順序です。または、B は有限体上の滑らかな射影曲線のアフィン座標環で、A は特異モデルのアフィン座標環です。環A は素イデアルへの一意の因数分解を持たず、一意の因数分解の失敗は導体によって測定されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$

伝導体と互いに素なイデアルは、デデキント領域のイデアルの多くの好ましい特性を共有しています。さらに、これらのイデアルでは、 BのイデアルとAのイデアルの間に密接な対応があります。

• Aのイデアルのうち互いに素なイデアルは、伝導体と互いに素である可逆な素イデアルの積に一意に因数分解されます。特に、このようなイデアルはすべて可逆です。${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$
• I がと互いに素であるBのイデアルである場合、I ∩ A はと互いに素であるAのイデアルであり、自然な環準同型は同型です。特に、I が素数であるためには、I ∩ Aが素数である必要があります。${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle A/(I\cap A)\to B/I}$
• J がAのイデアルでと互いに素である場合、JB はBのイデアルでと互いに素であり、自然環準同型は同型です。特に、J が素数であるためには、JBが素数である必要があります。${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle A/J\to B/JB}$
• 関数およびは、 と互いに素なAのイデアルと と互いに素なBのイデアルとの間の一対一の関係を定義します。この一対一の関係は素数であるという性質を保持します。また、これは乗法でもあります。つまり、およびです。${\displaystyle I\mapsto I\cap A}$${\displaystyle J\mapsto JB}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle (I\cap A)(I'\cap A)=II'\cap A}$${\displaystyle (JB)(J'B)=JJ'B}$

これらの特性はすべて、一般には導体と互いに素でないイデアルでは成り立ちません。起こりうる困難のいくつかを見るために、J がAとB の両方の非ゼロイデアルであると仮定します（特に、導体に含まれるため互いに素ではありません）。すると、A = Bでない限り、 J はAの可逆な分数イデアルにはなれません。B はデデキント領域なので、 JはBで可逆であり、したがって

${\displaystyle \{x\in K\colon xJ\subseteq J\}=B,}$

なぜなら、方程式xJ ⊆ Jの両辺にJ ⁻¹を掛けることができるからです。JもAで可逆である場合、同じ推論が適用されます。しかし、上記の方程式の左辺はAまたはBを参照せず、それらの共有分数体のみを参照するため、A = Bです。したがって、 AとB の両方のイデアルであるということは、Aで非可逆性を意味します。

K をQの二次拡大とし、O K をその整数環とする。₁ ∈ O K を Z 基底に拡張すると、K_のすべての位数O は、何らかの正の整数cに対してZ + cO _{K の}形をとることがわかる。 この位数の導体はイデアルcO _Kに等しい。 確かに、 cO _{K は}Oに含まれるO _Kのイデアルであることは明らかなので、導体に含まれます。 一方、cO _{K を}含むOのイデアルは、商環( Z + cO _K ) /  cO _Kのイデアルと同じです。 後者の環は、第 2 同型定理によりZ  /  c Zに同型なので、Oのそのようなイデアルはすべて、 cO _KとZのイデアルの和です。 この同型では、導体はZ  /  c Z を消滅させるので、 c Zでなければなりません。

この場合、指数[ O _K  : O ]もcに等しいため、二次数体の位数については指数を導体と同一視することができます。この同一視は、高次の数体では失敗します。

• 積分要素