還元不可能なイデアル

数学では、可換環の真のイデアルは、2 つの厳密に大きなイデアルの共通部分として表すことができない場合、既約であると言われる。^{[ 1 ]}

• すべての素イデアルは既約である。^{[ 2 ]}${\displaystyle J}$そして${\displaystyle K}$可換環のイデアルである${\displaystyle R}$どちらも他方に含まれていない。すると、${\displaystyle a\in J\setminus K}$そして${\displaystyle b\in K\setminus J}$どちらも${\displaystyle J\cap K}$しかし、積は素数である。これは、可約イデアルが素数ではないことを証明する。具体的な例として、イデアルが挙げられる。${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$そして${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$含まれる${\displaystyle \mathbb {Z} }$交差点は${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$、 そして${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$それは基本理念ではない。
• ネーター環のすべての既約イデアルは基本イデアルであり、^{[ 1 ]}その結果、ネーター環の既約分解は基本分解である。^{[ 3 ]}
• 主観理想領域のすべての主観理想は、還元不可能な理想である。
• すべての還元不可能な理想は根源的である。^{[ 4 ]}
• 還元不可能な理想で、かつ急進的な理想はすべて、至高の理想である。${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$は、${\displaystyle {\ce {\mathbb {Z} }}}$それは過激でもなく、主要な理想でもない。^{[ 5 ]}

整域の要素が素であるのは、その要素によって生成されるイデアルが零でない素イデアルである場合に限る。既約イデアルについてはこの限りではない。既約イデアルは、既約要素ではない要素によって生成される場合がある。例えば、次の例が挙げられる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$理想的な${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$それは、厳密に言えば、二つのより大きな理想の交わりではないからだ。

代数幾何学において、イデアル${\displaystyle I}$指輪の${\displaystyle R}$還元不可能な場合、${\displaystyle V(I)}$はスペクトル上のザリスキー位相における既約部分集合である。${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$逆は成り立たない。例えば理想${\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})}$で${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$は、起源のみからなる既約多様体を定義するが、それは既約イデアルではない。${\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})=(x^{2},y)\cap (x,y^{2})}$。

• 既約モジュール
• 既約空間
• ラスケリアンリング