最小素イデアル

数学、特に可換代数では、極小素イデアルと呼ばれる特定の素イデアルが、環や加群を理解する上で重要な役割を果たします。高さの概念やクルルの主イデアル定理では、極小素イデアルが使用されます。

意味

素イデアルP は、イデアルI を含むすべての素イデアルの中で極小である場合に、イデアルI上の極小素イデアルと呼ばれます。(注: Iが素イデアルである場合、I はその上の唯一の極小素イデアルです。) 素イデアルは、零イデアル上の極小素イデアルである場合に、極小素イデアルと呼ばれます。

ネーター環RのイデアルI上の極小素イデアルは、まさにの極小随伴素数（孤立素数とも呼ばれる）である。これは、たとえばIの一次分解から導かれる。 $R/I$

例

可換アルティン環では、あらゆる極大イデアルは極小素イデアルである。
整域では、唯一の極小素イデアルは零イデアルです。
整数環Zにおいて、非零主イデアル( n )上の極小素イデアルは主イデアル ( p ) である。ここでp はnの素因数である。零イデアル上の唯一の極小素イデアルは零イデアル自身である。同様のことが任意の主イデアル領域にも当てはまる。
I がp素イデアル（たとえば、pの記号的冪）である場合、p はI上の唯一の最小素イデアルです。
イデアルとは、射の素イデアルの拡張であるため、における極小素イデアルであり、零イデアル ( は素ではないが、もも零イデアルに含まれない) を含み、他のどの素イデアルにも含まれない。 $(x)$ $(y)$ $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ $\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y]/(xy)$ $x\cdot y=0\in (0)$ $x$ $y$
イデアル上の極小素数にはイデアルとがあります。 $\mathbb {C} [x,y,z]$ $((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3} )$ $(x^{3}-y^{3}-z^{3})$ $(x^{5}+y^{5}+z^{5})$
およびをAにおけるx、yの像とします。このとき、およびはAの極小素イデアルです(他には存在しません)。をAにおける零因子の集合とします。このとき、はDに含まれます(非零のを排除するため)。一方、にもにも含まれません。したがってです。 $A=\mathbb {C} [x,y]/(x^{3}y,xy^{3})$ ${\overline {x}},{\overline {y}}$ $({\overline {x}})$ $({\overline {y}})$ $D$ ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ ${\overline {x}}^{2}{\overline {y}}-{\overline {x}}{\overline {y}}^{2}$ $({\overline {x}})$ $({\overline {y}})$ $({\overline {x}})\cup ({\overline {y}})\subsetneq D$

プロパティ

すべての環は可換かつ単位的であると仮定されます。

環内の任意の真イデアル Iには、その上に少なくとも 1 つの極小素イデアルがあります。この事実の証明には、ゾルンの補題を使用します。[ 1 ^]Iを含む任意の極大イデアルは素であり、そのようなイデアルが存在するため、Iを含む素イデアルの集合は空ではありません。素イデアルの減少する連鎖の共通部分は素数です。したがって、 I を含む素イデアルの集合には極小元があり、それはI上の極小素数です。
エミー・ネーターは、ネーター環においては、任意のイデアル上の極小素イデアルは有限個しか存在しないことを示した。 ^[2]^{[3] 「ネーター」を}根基イデアル上の上昇連鎖条件に置き換えても、この事実は成り立つ。
任意の適切なイデアルIの根号は、 I上の最小の素イデアルの共通部分と一致します。これは、すべての素イデアルには最小の素イデアルが含まれているという事実から生じます。 ${\sqrt {I}}$
与えられた環の零因子の集合には、最小素イデアルの和集合が含まれる。^[4]
クルルの主イデアル定理によれば、ネーター環において、主イデアル上の各極小素数の高さは最大で 1 になります。
ネーター環の各固有イデアルIには、その上の可能な限り重複する極小素イデアルの積が含まれます (証明:はI上の極小素イデアルの共通部分です。あるnに対して、したがってI にはが含まれます。) ${\sqrt {I}}=\bigcap _{i}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}$ ${\sqrt {I}}^{n}\subset I$ $\prod _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{n}$
環Rの素イデアルがイデアルI上の唯一の極小素数となるのはの場合であり、が極大となる場合、そのようなIは- 一次イデアルである。これにより、極小素数の局所的基準が得られる。素イデアルがI上の極小素数となるのはが - 一次イデアルとなる場合であり、その場合に限る。Rがネーター環のとき、がI上の極小素数となるのはがアルティン環となる場合である（つまり、が冪零加群Iとなる）。の下にあるの逆像は、Iの-一次成分と呼ばれるの一次イデアルである。 ${\mathfrak {p}}$ ${\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ $IR_{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $IR_{\mathfrak {p}}$ $R\to R_{\mathfrak {p}}$ $R$ ${\mathfrak {p}}$
がネーター局所であり、最大イデアルを持つ場合、がに対して極小となるのは、となる数が存在する場合のみである。 $A$ $P$ $P\supseteq I$ $I$ $m$ $P^{m}\subseteq I$