理想的なフィッティング

可換代数において、可換環上の有限生成加群のフィッティングイデアルは、与えられた数の要素によって加群を生成する際の障害を記述する。これはハンス・フィッティング (1936) によって導入された。

Mが 、関係式を持つ 元m ₁ ,..., m _nによって生成される可換環R上の有限生成モジュールである場合、

${\displaystyle a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{j=1,2,\dots の場合)}$

すると、Mのi番目のフィッティングイデアルは、行列の次数の小行列式（部分行列の行列式）によって生成されます。フィッティングイデアルは、 Mの生成元と関係の選択には依存しません。 ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$${\displaystyle に}$${\displaystyle a_{jk}}$

一部の著者は、フィッティング イデアルを最初のゼロ以外のフィッティング イデアルとして定義しました。 ${\displaystyle I(M)}$${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

フィッティングの理想は高まっている

${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{1}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{2}(M)\subseteq \cdots }$

M がn個の要素で生成できる場合、 Fitt _n ( M ) =  Rとなり、R が局所的である場合は逆が成り立ちます。 Fitt ₀ ( M ) ⊆ Ann( M ) ( Mの消滅子 )、および Ann( M )Fitt _i ( M ) ⊆ Fitt _{i −1} ( M ) であるため、特にM がn個の要素で生成できる場合、 Ann( M ) ⁿ  ⊆ Fitt ₀ ( M ) となります。

M がランクnを持たない場合、フィッティングイデアルはi < nに対してゼロになり、i  ≥  nに対して R になります。 ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

Mが の有限アーベル群（整数上の加群として考えられます）である場合、フィッティングイデアルはイデアルです。 ${\displaystyle |M|}$${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)}$${\displaystyle (|M|)}$

結び目の アレクサンダー多項式は、結び目の補集合の無限アーベル被覆の最初のホモロジーのフィッティングイデアルの生成元です。

ゼロ次フィッティングイデアルは、射のスキーム理論的像の概念の変形を与えるためにも使用でき、この変形は族内で適切に機能します。具体的には、ネータースキームの有限射が与えられた場合、-モジュールはコヒーレントであるため、 -イデアルのコヒーレント層として定義できます。対応する の閉じた部分スキームは、 fのフィッティング像と呼ばれます。^{[1] [引用が必要]} ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle Y}$

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• フィッティング、ハンス(1936)、「Die Determinantenideale eines Moduls」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、46 : 195–228、ISSN  0012-0456
• マズール、バリー、ワイルズ、アンドリュー(1984)、「 Qのアーベル拡大の類体」、Inventiones Mathematicae、76 (2): 179–330、doi :10.1007/BF01388599、ISSN  0020-9910、MR  0742853
• ノースコート、DG（1976）、有限自由解像度、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-60487-1、MR  0460383