ねじれのないモジュール

抽象代数学において、環R上の加群Mは、ある直積R ^Iに埋め込むことができる場合、ねじれがないと呼ばれる。言い換えれば、Mの各非零要素が、あるR線形汎関数fの下で非零の像を持つ場合、 Mはねじれがないという。

${\displaystyle f\in M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M,R),\quad f(m)\neq 0.}$

この概念はハイマン・バスによって提唱された。^{[ 1 ]}

モジュールがねじれなしであるのは、正準写像がその二重双対に写像される場合のみである。

${\displaystyle M\to M^{\ast \ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast },R),\quad m\mapsto (f\mapsto f(m)),m\in M,f\in M^{\ast },}$

この写像が全単射である場合、その加群は反射的であると呼ばれます。このため、ねじれのない加群は半反射的とも呼ばれます。

• 単位元を持たない加群はねじれを持たない。より一般的に言えば、ねじれを持たない加群の直和はねじれを持たない。
• 自由加群は有限生成である場合に反射的であり、一部の環には無限生成の自由加群で反射的なものも存在する。例えば、可算個の整数の直和は整数上の反射加群である（例えば^{[ 2 ]を参照）。}

• ねじれのない加群の部分加群はねじれのない加群である。特に、R上の任意の射影加群はねじれのない加群であり、 Rの任意の左イデアルはねじれのない左加群であり、右イデアルについても同様である。
• ドメイン上のねじれのない加群はすべてねじれのない加群であるが、その逆は真ではない。なぜなら、 Q はねじれのないZ加群であるが、ねじれのない加群ではないからである。
• Rが可換環であり整域であり、M が有限生成のねじれのない加群である場合、 MはR nに埋め込むことができ^、したがってMはねじれがない。
• Nが右R加群であると仮定すると、その双対N ^*は左R加群の構造を持つ。このようにして生じる左R加群はすべてねじれを持たないことが分かる（同様に、左R加群の双対である右R加群もすべてねじれを持たない）。
• デデキント領域上では、有限生成加群が反射的であるのは、それがねじれのない加群である場合に限る。^{[ 3 ]}
• R をネーター環とし、M をR上の反射的有限生成加群とする。このとき${\displaystyle M\otimes _{R}S}$SがR上で平坦であるときはいつでも、S上の反射加群となる。^{[ 4 ]}

スティーブン・チェイスは、ねじれのないモジュールに関連して、半遺伝的環の以下の特徴付けを証明した。

任意の環Rに対して、以下の条件は同値である: ^{[ 5 ]}

• Rは半遺伝性である。
• ねじれのない右R加群はすべて平坦である。
• 環Rは左コヒーレントであり、以下の4つの条件のうちいずれかを満たす。これらの条件は同等であることが知られている。
  • Rのすべての右イデアルは平坦である。
  • Rのすべての左イデアルは平坦である。
  • すべての右平坦R加群の部分加群は平坦である。
  • すべての左平坦R加群の部分加群は平坦である。

（文中の左と右を表す形容詞の混在は間違いではありません。）

• プリューファードメイン
• 反射的束