永田リング

可換代数において、N-1 環は、その商体における整閉包が有限生成-加群である整域 である。その商体 のすべての有限拡大に対して、におけるの整閉包が有限生成- 加群（または同値な有限-代数）である場合、その環は日本環（またはN-2 環）と呼ばれる。環上のすべての有限生成整域が日本環である場合、その環は普遍日本環と呼ばれ、永田正義にちなんで名付けられた永田環、または、ネーター環かつ普遍日本環である場合（または、ネーター環であり、その素イデアルによる商がすべて N-2 環である場合、結局同じになる）、擬幾何学環と呼ばれる。環が代数多様体の局所環またはそのような局所環の完備化である場合、環は幾何学環と呼ばれるが、^[1]この概念はあまり使用されない。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

体や多項式環、あるいは体上の有限個の不定量の冪級数は、日本の環の例です。もう一つの重要な例は、分数の完全体を持つネーター整閉領域（例えば、デデキント領域）です。一方、主イデアル領域や離散値環は、必ずしも日本の環であるとは限りません。

任意の準優環は永田環であるため、特に代数幾何学に現れるほぼすべてのネーター環は永田環である。永田環ではないネーター領域の最初の例は、秋月 (1935) によって与えられた。

以下は、離散評価環のうち、日本語環ではないものの例です。となる特性体の素数と無限次体拡大を選択します。 離散評価環を、上の形式的冪級数の環とし、その係数が の有限拡大を生成するものとします。がに含まれない形式的冪級数である場合、環はN-1 環ではありません (その整閉包は有限生成加群ではありません)。したがって、 は日本語環ではありません。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K^{p}\subseteq k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[y]}$${\displaystyle R}$

がすべての生成元の平方と立方によって生成される無限個の生成元における多項式環の部分環であり、 が、ある によって生成されるどのイデアルにも含まれないすべての元に逆を付加することによって から得られる場合、 はN-1 環ではない1 次元ノイザン領域です。つまり、その商体における整閉包は有限生成- 加群ではありません。 はまた、すべての閉点で尖点特異点を持つため、特異点の集合は閉じていません。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},...]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• 秋月裕子 (1935)、「Einige Bemerkungen über primäre Integritätsbereiche mit tilerkettensatz」、日本物理数学会論文集、第 3 集、17 : 327–336
• ボッシュ、ギュンツァー、レンメルト、非アルキメデス分析、Springer 1984、ISBN 0-387-12546-9 
• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「幾何学環」、数学百科事典、EMSプレス
• A. グロタンディーク、J. デュドネ、幾何学要素、Ch. 0 _IV § 23、出版物。数学。 IHÉS 20、(1964)。
• H. Matsumura,可換代数 ISBN 0-8053-7026-9、第12章。 
• 永田 正義ローカルリング。 Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics、第 13 号 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons、ニューヨーク-ロンドン 1962、RE Krieger Pub. Co (1975) により再版ISBN 0-88275-228-6 

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/032E