ガロア拡大における素イデアルの分割

数学において、数体Kのガロア拡大Lのガロア群 Gと、整数環O _Kの素イデアルPがO _Lの素イデアルの積として因数分解する方法との間の相互作用は、代数的整数論の最も豊かな部分の 1 つを提供します。ガロア拡大における素イデアルの分割は、ヒルベルト理論と呼ばれ、ダヴィト・ヒルベルトに起因するとされることがあります。リーマン面の分岐被覆に対する幾何学的な類似物があり、これは、 Gの 2 種類ではなく 1 種類の部分群のみを考慮する必要がある点でより単純です。これは、ヒルベルト以前によく知られたことでした。

L / K を数体の有限拡大とし、O K と O L をそれぞれ K と L の整数の対応する環とし、これら_は問題の_体における整数Zの整閉包として 定義されます。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}$

最後に、p をO _K内のゼロでない素イデアル、またはそれと同等の最大イデアルとし、剰余O _K / pが体 となるようにします。

1次元環の基本理論から、一意の分解が存在することがわかる。

${\displaystyle pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}}$

O _Lでpによって生成されたイデアルpO _{L を}、重複度e _{j を}持つ異なる最大イデアルP _jの積に変換します。

体F = O _K / pは、任意のjに対してF _j = O _L / P _jに自然に埋め込まれ、この留数体拡大の次数f _j = [ O _L / P _j  : O _K / p ] はp上のP _jの慣性次数と呼ばれます。

重複度e _{j は}、 p上のP _jの分岐指数と呼ばれます。あるjに対してそれが 1 より大きい場合、体拡大L / Kはpで分岐していると呼ばれます（または、p がLで分岐する、またはLで分岐していると言います）。それ以外の場合、L / K はpで非分岐であると呼ばれます。この場合、中国剰余定理により、商O _L / pO _{L は}体F _jの積になります。拡大L / K は、相対判別式を割り切る素数で分岐するため、有限個の素イデアルを除いて、拡大は非分岐です。

理想規範の乗法性は

${\displaystyle [L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

すべてのjについてf _j = e _j = 1の場合(したがってg = [ L  : K ])、 p はLで完全に分岐するといいます。g = 1 かつf ₁ = 1 の場合 (したがってe ₁ = [ L  : K ])、 p はLで完全に分岐するといいます。 最後に、g = 1 かつe ₁ = 1 の場合 (したがってf ₁ = [ L  : K ])、 p はLで不活性であるといいます。

以下では、拡大L / Kはガロア拡大であると仮定する。すると、素数回避補題は、ガロア群が P _jに推移的に作用することを示すために使用できる。つまり、Lにおけるpの素イデアル因子は、 K上のLの自己同型の下で単一の軌道を形成する。これと一意因数分解定理から、 f = f _jおよびe = e _jはjと独立であることがわかる。これは、ガロアではない拡大では必ずしも当てはまらない。すると、基本関係は次のようになる。 ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$。

そして

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

上記の関係は、[ L  : K ]/ ef がO _Lにおけるpの素因数の数g に等しいことを示しています。軌道安定化公式により、この数はすべてのjについて| G |/| D _{P j} |にも等しくなります。ここで、P _jの分解群であるD _{P j}は、与えられたP _{j を}それ自身に送るGの元の部分群です。基本的なガロア理論により、 L / Kの次数とGの位数は等しいため、分解群D _{P j}の位数はすべてのjについてefになります 。

この分解群には、 P _jの慣性群と呼ばれる部分群I _{P j}が含まれます。これは、 F _j上の恒等自己同型を誘導するL / Kの自己同型で構成されます。言い換えると、I _{P j は}縮小写像の核です。この写像は射影的であることが示され、 はD _{P j} / I _{P j}に同型であり、慣性群I _{P j}の位数はeです。 ${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$

フロベニウス元の理論はさらに進んで、有限体拡大F _j / Fのガロア群のフロベニウス自己同型に対応する、与えられたjに対するD _{P j} / I _{P j}の元を識別します。非分岐の場合、D _{P j}の位数はfでI _{P j は}自明であるため、フロベニウス元はこの場合D _{P j}の元であり、したがってGの元でもあります。j を変化させた場合、群D _{P j}はG内の共役部分群です。G はP _jに対して推移的に作用することを思い出すと、 P _{j を}P _j'に写す場合、 であることが確認できます。したがって、Gがアーベル群である場合、非分岐素数Pのフロベニウス元は、どのP _{j を}取るかに依存しません。さらに、アーベルの場合、Kの非分岐素数をそのフロベニウスに関連付けて乗法的に拡張すると、 Kの非分岐イデアルの群からGへの準同型が定義されます。この写像はアルティン写像と呼ばれ、与えられた数体Kの有限アーベル拡大を研究する類体理論の重要な要素です。^[1]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}}$

幾何学的な類似物では、複素多様体または代数的に閉じた体上の代数幾何学では、分解群と慣性群の概念が一致します。そこで、ガロア分岐被覆が与えられた場合、有限個を除くすべての点は同じ数の逆像を持ちます。

ガロアではない拡大における素数の分割は、最初に分割体、つまりやや大きいガロア拡大を使用して研究することができます。たとえば、3 次体は通常、それらを含む次数 6 の体によって「規制」されます。

この節では、体拡大Q (i)/ Qにおける素イデアルの分割について説明します。つまり、K = QおよびL = Q (i) をとるので、O _{K は}単にZであり、O _L = Z [i] はガウス整数の環です。このケースは代表的とは言えませんが (結局のところ、Z [i] は一意の因数分解を持ち、一意の因数分解を持つ二次体はそれほど多くありません)、理論の特徴の多くを示しています。

G をQ (i)/ Qのガロア群、 σ をGの複素共役自己同型と書くと、考慮すべきケースが3つあります。

Zの素数2はZ [i] に分岐する:

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

したがって、ここでの分岐指数はe = 2である。剰余体は

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

これは2つの元を持つ有限体である。分解群はGのすべてに等しくなければならない。なぜならZ [i]の2より大きい素数は1つしかないからである。慣性群もまたGのすべてである。なぜなら

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

任意の整数aとbに対して、 となります。 ${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

実際、2はZ [i]に分岐する唯一の素数です。分岐するすべての素数はZ [i]の判別式である-4 を割り切れるからです。

任意の素数p ≡ 1 mod 4 はZ [i]内の 2 つの異なる素イデアルに分割されます。これは、2 つの平方数の和に関するフェルマーの定理の現れです。たとえば、

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

この場合の分解群は両方とも自明群{1}である。実際、自己同型σは2つの素数(2 + 3i)と(2 − 3i)を入れ替えるので、どちらの素数の分解群にも属することはできない。分解群の部分群である慣性群も自明群である。それぞれの素数に対して1つずつ、2つの剰余体が存在する。

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

これらは両方とも13個の元を持つ有限体と同型である。フロベニウス元は自明な自己同型であり、これは

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

任意の整数aとbに対して。

4を法として3となる素数pはZ [ ]では不活性のままである。つまり分解しない。例えば、(7)はZ [ ]では素数のままである。この状況では、分解群はG全体である。これも素因数が1つしかないためである。しかし、この状況はp = 2の場合とは異なり、σは剰余体に対して自明に作用 しない。${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

^{これは 7 2} = 49 個の元を持つ有限体である。例えば、との差はであり、これは確かに 7 で割り切れない。したがって、慣性群は自明群 {1} である。この剰余体の部分体Z /7 Z上のガロア群は位数 2 であり、フロベニウス元の像によって生成される。フロベニウス元は σ に他ならない。これは、 ${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle \sigma (1+i)=1-i}$${\displaystyle 2i}$

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

任意の整数aとbに対して。

O _Kの素イデアルPをO _Lの素数に因数分解することを決定したいとします。次の手順 (Neukirch、p. 47) で、多くの場合この問題を解くことができます。戦略としては、Lが θ によってK上に生成されるようにO _L内の整数 θ を選択し(このような θ は原始元定理によって存在することが保証されています)、次にK上の θ の最小多項式H ( X ) を調べます。これは、 O _Kに係数を持つモニック多項式です。 H ( X )の係数をPで割って簡約すると、 (有限) 剰余体O _K / PであるFに係数を持つモニック多項式h ( X ) が得られます。h ( X ) が多項式環F [ X ] で次のように 因数分解されるとします。

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}$

ここで、 h _{j は}F [ X ]の異なる単数既約多項式です。Pが有限個の例外的な素数でない限り (正確な条件は以下で説明します)、Pの因数分解は次の形式になります。

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

ここで、 Q _jはO _Lの異なる素イデアルです。さらに、各Q _jの慣性次数は対応する多項式h _jの次数に等しく、 Q _jの明示的な式があります。

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},}$

ここでh _jは多項式h _jをK [ X ]に持ち上げることを表します。

ガロアの場合、慣性次数はすべて等しく、分岐指数e ₁ = ... = e _nもすべて等しくなります。

上記の結果が必ずしも成り立たない例外的な素数は、環O _K [θ]の導体と互いに素ではないものである。導体は理想的なものとして定義される。

${\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

これは、位数 O _K [θ]が整数環全体（最大位数）O _Lからどれだけ離れているかを測定します。

重要な注意点は、上記の仮定を満たす θ が存在しないL / KおよびPの例が存在することです（例えば^[2]を参照）。したがって、上記のアルゴリズムはそのようなP を因数分解するために使用することはできず、 ^[3]で説明されているようなより洗練されたアプローチを使用する必要があります。

再びガウス整数の場合を考えてみましょう。θ を虚数単位とし、最小多項式H ( X ) = X ² + 1とします。Z [ ] はQ ( )の整数環全体なので、導体は単位イデアルであり、例外的な素数は存在しません。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

P = (2)の場合、体Z /(2) Zで作業する必要があり、これは多項式X ² + 1 を 2 で因数分解することになります。

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

したがって、慣性度1、分岐指数2の素因数は1つだけであり、次のように表される。

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

次のケースは、素数p ≡ 3 mod 4 に対してP = ( p ) の場合です。具体的には、 P = (7)とします。多項式X ² + 1 は 7 を法として既約です。したがって、慣性次数 2、分岐指数 1 の素因数は 1 つしかなく、次のように表されます。

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

最後のケースは、素数p≡1 mod 4に対してP = ( p )です。ここでもP = (13)をとります。今回は因数分解が成り立ちます。

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

したがって、慣性度と分岐指数が1である 2つの素因数が存在する。これらは次のように与えられる。

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

そして

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$

• チェボタレフの密度定理

• 「数体とガロア拡大における分割と分岐」。PlanetMath。
• スタイン、ウィリアム（2004）、古典的およびアデル的代数的数論の簡単な入門
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.