マトリスの双対性

代数学において、マトリス双対性は、完全なネーター局所環上のアルティン加群とネーター加群の間の双対性である。局所環が留数体に写像する体^{[明確化が必要]}を持つ特殊なケースでは、それは多項式環に関するフランシス・サワービー・マコーレーの初期の研究と密接に関連しており、マコーレー双対性と呼ばれることもあり、一般的なケースはマトリス (1958) によって導入された。

R が剰余体kを持つノイザン完備局所環であるとし、E をkの入射包（マトリス加群と呼ばれることもある）として選ぶ。加群Mの双対D _R ( M ) は Hom _R ( M , E )と定義される。このとき、マトリス双対性は、双対関手D _{R が}アルティンとノイザンR加群のカテゴリ間の反同値を与えることを述べている。特に、双対関手は有限長加群のカテゴリからそれ自身への反同値を与える。

ネーター完全局所環Rに、その剰余体R / mの有限指数の部分体に写像される部分体kがあるとする。この場合、任意のR加群の Matlis 双対は、加群にm進位相が与えられているなら、 k上の位相ベクトル空間としてのその双対にすぎない。特に、k上の位相ベクトル空間としてのRの双対はMatlis 加群である。このケースは、次数付き多項式環に関する Macaulay の研究と密接に関連しており、Macaulay 双対性と呼ばれることもある。

R が商体Kを持つ離散値環である場合、 Matlis 加群はK / Rです。 R がp進数環である特別な場合、有限生成加群の Matlis 双対は、局所コンパクトアーベル群として考えられたそのPontryagin 双対です。

Rが双対化加群Ωを持つ次元dのコーエン・マコーレー局所環である場合、マトリス加群は局所コホモロジー群Hによって与えられる。^dR
_​(Ω) 特に、R がアルティン局所環である場合、マトリス加群は双対化加群と同じになります。

マトリスの双対性は、随伴関数と導来圏の言語を使って概念的に説明できる。^{[1] k加群を}R加群とみなすことによって誘導されるR加群とk加群の導来圏間の関数は、右随伴関数（導来内部Hom） を許容する。

${\displaystyle D(k)\gets D(R):R\operatorname {Hom} _{R}(k,-).}$

この右随伴関数は、上記の入射包をkに送ります。これは、内の双対化オブジェクトです。この抽象的な事実により、上記の同値性が生まれます。 ${\displaystyle E(k)}$${\displaystyle D(k)}$

• グロタンディークの局所双対性

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993)、Cohen-Macaulay 環、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、第 39 巻、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-41068-7、MR  1251956
• Matlis, Eben (1958)、「Noether 環上の入射モジュール」、Pacific Journal of Mathematics、8 : 511–528、doi : 10.2140/pjm.1958.8.511、ISSN  0030-8730、MR  0099360、2014-05-03 にオリジナルからアーカイブ