完全に閉じた領域

可換代数において、整閉領域 Aは、その分数体における整閉がA自身である整領域である。これを具体的に説明すると、x がAの分数体の元であり、その分数が Aに係数を持つ単項多項式の根である場合、x自体がAの元であることを意味する。よく研究されている多くの領域は、次のクラス包含の連鎖で示されるように、整閉である。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

明示的な例としては、ユークリッド領域である整数環 Zが挙げられます。すべての正則局所環も整閉環です。

すべての素イデアルにおける局所化が整閉領域である環は正規環である。

A を分数体K を持つ整閉領域とし、L を K の体拡大とする。このとき、 x ∈ LがA上で積分となるのは、 x がK上で代数的であり、 K上のその極小多項式がAに係数を持つ場合のみである。^[1] 特に、これはA上で積分されたLの任意の元が、 K [ X ]で既約なA [ X ]の単項多項式の根であることを意味する。

A が体 K に含まれる領域である場合、KにおけるAの整閉包(つまり、 A上で整であるKのすべての元の集合)を考えることができます。この整閉包は整閉領域です。

整閉領域は、 Going-down 定理の仮説においても役割を果たします。この定理は、 A ⊆ Bが領域の整拡大であり、 Aが整閉領域である場合、拡大A ⊆ Bに対してgoing-down 特性が成り立つことを述べています。

以下は整閉領域です。

• 主イデアル領域（特に、整数と任意の体）。
• 一意の因数分解領域(特に、体上、整数上、または任意の一意の因数分解領域上の任意の多項式環)。
• GCDドメイン(特に、任意のBézout ドメインまたは評価ドメイン)。
• デデキント領域。
• 体上の対称代数(すべての対称代数は体上の複数変数の多項式環に同型であるため)。
• を特性 2 でない体とその上の多項式環とします。 が の平方非定数多項式である場合、 は整閉領域です。^[2]特に、が である場合、 は整閉領域です。^[3]${\displaystyle k}$${\displaystyle S=k[x_{1},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}$${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}$${\displaystyle r\geq 2}$

非例を挙げると、^[4] k を体、 をt ²とt ³によって生成される部分代数とします。するとA は整閉ではありません。つまり、分数体 を持ち、変数Xの単項多項式は根tを持ちますが、これは分数体にはありますがAには存在しません。これは、平面曲線が原点で 特異点を持つという事実に関係しています。${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle X^{2}-t^{2}}$${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$

整閉でない別の領域は です。その分数体には元 が含まれますが、これはAには存在しませんが、単項多項式 を満たします。 ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$

次元 1 のネーター局所領域Aの場合、次の式は同値です。

• Aは整数的に閉じています。
• Aの最大イデアルは主イデアルです。
• A は離散評価環です( Aはデデキント環であることと同義です)。
• A は通常のローカル リングです。

A をネーター整域とする。Aが整閉であるためには、(i) A が高さ 1 の素イデアル上のすべての局所化の共通部分であり、(ii) 高さ 1 の素イデアルでの局所化が離散値環となる必要がある。 ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ネーター環は、整閉領域である場合にのみ、 クルル領域になります。

非ノイザン設定では、次のようになります。整域が整閉となるのは、それがそれを含むすべての付値環の交差である場合のみです。

セール、グロタンディーク、松村などの著者は、正規環を、素イデアルでの局所化が整閉領域である環と定義しています。このような環は必然的に被約環であり、^[5]これが定義に含まれることもあります。一般に、Aが最大イデアルでの局所化がすべて領域であるネーター環である場合、 A は領域の有限積です。^[6]特に、 A がネーター正規環である場合、積内の領域は整閉領域です。^[7]逆に、整閉領域の有限積は正規です。特に、がネーター正規連結である場合、Aは整閉領域です。(滑らかな多様体を参照) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

A をネーター環とする。すると、（セールの条件）A が正規環となるのは、次の条件を満たす場合のみである。任意の素イデアルに対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

1. の高さが の場合、 は正則です（つまり、は離散評価環です）。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$
2. に高さがある場合、深さは です。^[8]${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \geq 2}$

項目 (i) はしばしば「余次元 1 で正則」と表現されます。注意 (i) は、関連する素数の集合に 埋め込まれた素数がないことを意味し、(i) が当てはまる場合、(ii) は、任意の非零因子fに対して埋め込まれた素数がないことを意味しています。特に、コーエン・マコーレー環は(ii) を満たします。幾何学的には、次のようになります。Xが非特異多様体の局所完全交差である場合、 ^[9]たとえば、X自体が非特異である場合、Xはコーエン・マコーレーです。つまり、構造層の茎はすべての素イデアル p に対してコーエン・マコーレーです。次に、 Xが正規である(つまり、その構造層の茎がすべて正規である) のは、余次元1で正則である場合に限ります。 ${\displaystyle Ass(A)}$${\displaystyle Ass(A/fA)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}$

A を領域、K をその分数体とします。Kの元x がA上でほぼ整で あるとは、 Aとxによって生成されるKの部分環A [ x ] がAの分数イデアルである場合、つまり、すべての に対してとなる非ゼロが存在する場合です。次に、Kのすべてのほぼ整元が A に含まれる場合、Aは完全に整閉であるとされます。完全に整閉な領域は整閉です。逆に、ネーター整閉な領域は完全に整閉です。 ${\displaystyle d\in A}$${\displaystyle dx^{n}\in A}$${\displaystyle n\geq 0}$

Aが完全に整閉であると仮定する。すると形式的な冪級数環は完全に整閉となる。^[10]整閉領域では類似が偽であるため、これは重要である。Rを高さが少なくとも 2 である付値領域（整閉）とする。するとは整閉ではない。^[11] L をKの体拡大とする。するとLにおけるAの整閉は完全に整閉となる。^[12]${\displaystyle A[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

整域が完全に整閉であるためには、Aの因子のモノイドが群である必要がある。^[13]

整数領域Aの場合、次の条件は同等です。

1. Aは整数的に閉じている。
2. A _p ( pに関するAの局所化) はすべての素イデアルpに対して整閉である。
3. A _{m は}任意の最大イデアル mに対して整閉である。

1 → 2 は局所化の下での積分閉包の保存から直ちに生じます。2 → 3 は自明です。3 → 1 は局所化の下での積分閉包の保存、局所化の正確性、およびA加群Mがゼロになるのは、すべての極大イデアルに関する局所化がゼロになる場合のみであるという 性質から生じます。

対照的に、「積分的に閉じている」は商を通過せず、Z [t]/(t ² +4) は積分的に閉じていない。

完全に整然と閉じた領域の局所化は、必ずしも完全に整然と閉じている必要はない。^[14]

整閉領域の直接の極限は整閉領域である。

A をネーター整閉領域と します。

AのイデアルIが除数的である場合、そしてその場合に限り、A / Iの関連するすべての素数の高さは1である。^[15]

P をAの高さ 1のすべての素イデアルの集合とします。Tが有限生成捩れ加群である場合、次のようになります。

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$、

これは形式的な和、つまり因子として意味をなす。dの因子類については と書く。がMの最大部分加群である場合、^[16]およびは（ブルバキ法では） と表記される。 ${\displaystyle c(d)}$${\displaystyle F,F'}$${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$${\displaystyle c(\chi (M/F))}$${\displaystyle c(M)}$

• ユニブランチローカルリング