フォン・ノイマン正弦リング

数学 において、フォン・ノイマン正則環とは、Rの任意の元aに対して、 a = axaとなるRの元x が存在するような環R (結合法則を満たし、1 を持つが、必ずしも可換ではない) のことである。x は元aの「弱逆元」と考えることができる。一般に、x はaによって一意に決定されるわけではない。フォン・ノイマン正則環は、すべての左R加群が平坦であるという特徴を持つため、絶対平坦環とも呼ばれる。

フォン・ノイマン正則環は、フォン・ノイマン代数と連続幾何学の研究の過程で、フォン・ノイマン（1936 ）によって「正則環」という名称で導入されました。フォン・ノイマン正則環は、可換代数の無関係な正則環や正則局所環と混同してはなりません。 

環の要素a は、 a = axaとなるようなxが存在する場合、フォン・ノイマン正則要素と呼ばれる。^{[ 1 ]} イデアル${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$は、 のすべての要素aに対して が成り立つとき、 (フォン ノイマン)正則イデアルと呼ばれる。${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$要素xが存在する${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$a = axaとなるように。^{[ 2 ]}

すべての体（およびすべての斜体）はフォン・ノイマン正則です。a ≠ 0 の場合、x = a −1と^することができます。^{[ 1 ]} 整域は、それが体である場合に限り、フォン・ノイマン正則です。フォン・ノイマン正則環のすべての直積は、再びフォン・ノイマン正則です。

フォン・ノイマン正則環のもう 1 つの重要なクラスは、ある体Kからのエントリを持つn × n正方行列の環 M _n ( K )です。r がA ∈ M _n ( K )のランクである場合、ガウス消去法によって、次の条件を満たす可逆行列UとVが得られます^{[ 3 ]}

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

（ここでI _rはr × rの単位行列である） 。X = V ⁻¹ U ⁻¹とすると、

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

より一般的には、任意のフォン・ノイマン正則環上のn × n行列環は、再びフォン・ノイマン正則である。^{[ 1 ]}

Vが体K (または斜体)上のベクトル空間である場合、Vが有限次元でない場合でも、自己準同型環End _K ( V ) はフォン・ノイマン正則である。 ^{[ 4 ]}

上記の例を一般化して、Sがある環で、MがS加群であり、 Mのすべての部分加群がMの直和因子であると仮定します(このような加群Mは半単純と呼ばれます)。このとき、自己準同型環End _S ( M ) はフォン ノイマン正則です。特に、すべての半単純環はフォン ノイマン正則です。実際、半単純環はまさにネーター的フォン ノイマン正則環です。^{[ 5 ]}

有限フォン・ノイマン環の関連作用素環はフォン・ノイマン正則である。

ブール環とは、すべての要素がa ² = aを満たす環のことである。すべてのブール環はフォン・ノイマン正則である。

環Rに関して、以下の記述は同値である。

• Rはフォン・ノイマン正則である
• すべての主左イデアルは冪等元によって生成される
• すべての有限生成左イデアルは冪等イデアルによって生成される
• すべての主左イデアルは左R加群Rの直和因子である
• 有限生成左イデアルはすべて左R加群Rの直和因子である
• 射影左R加群Pの有限生成部分加群はすべてPの直和因子である
• すべての左R加群は平坦である。これはRが絶対的に平坦である、またはR の弱次元が0である、とも呼ばれる。
• 左R加群の短い完全列はすべて純粋完全である。

右加群に関する対応する記述も、Rがフォン・ノイマン正則であることと同等である。

すべてのフォン・ノイマン正則環はヤコブソン根基{0}を持ち、したがって半原始的である（「ヤコブソン半単純」とも呼ばれる）。

可換フォンノイマン正則環では、各要素xに対して、 xyx = xおよびyxy = yとなる一意の要素yが存在するため、 xの「弱逆元」を選択する標準的な方法が存在する。

可換環Rにおいては、以下の命題は同値である。

• Rはフォン・ノイマン正則である。
• Rはクルル次元が0であり、縮小されている。
• 極大イデアルにおけるRのあらゆる局所化は体である。
• Rは、 x ∈ Rの「弱逆元」 （ xyx = xおよびyxy = yとなる唯一の元y）を取ることに関して閉じた体の積の部分環です。
• RはVリングである。^{[ 6 ]}
• R は、 t ↦ ( t , 0)によって決定される環準同型Z [ t ] → Z [ t ^± ] × Zに対して右持ち上げ特性を持ちます。幾何学的に言えば、すべての正則関数が$\textstyle \mathrm {Spec} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$スキームの射による要因$\displaystyle \{0\}\sqcup \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {A} ^{1}}$[ ^{7 ]​}

また、可換環Aの場合、以下は同値である。

• R = A / nil( A )はフォン・ノイマン正則である。
• Aのスペクトルはハウスドルフである（ザリスキー位相において）。
• Spec( A )の構成可能位相とザリスキー位相は一致する。

フォン・ノイマン正則環の特殊なタイプには、単位正則環、強フォン・ノイマン正則環、ランク環などがあります。

環Rは、 Rの任意のaに対して、 a = auaとなるようなRの単位元uが存在する場合、単位正則であると呼ばれる。すべての半単純環は単位正則であり、単位正則環は直接有限環である。通常のフォン・ノイマン正則環は必ずしも直接有限環ではない。

環Rは、 Rの任意のaに対して、 a = aaxとなるようなRのxが存在するとき、強フォンノイマン正則であると呼ばれる。この条件は左右対称である。強フォンノイマン正則環は単位正則である。すべての強フォンノイマン正則環は、可除環の直積である。ある意味では、これは体直積である可換フォンノイマン正則環の性質をより忠実に模倣している。可換環の場合、フォンノイマン正則と強フォンノイマン正則は同値である。一般に、環Rに対して、次の条件は同値である。

• Rは強いフォン・ノイマン正則である
• Rはフォン・ノイマン正則かつ縮約されている。
• Rはフォン・ノイマン正則であり、Rのすべての冪等元は中心的である。
• Rのすべての主左イデアルは、中心冪等性によって生成される。

フォン・ノイマン正則環の一般化には、 π正則環、左/右半遺伝環、左/右非特異環、半原始環などがある。

• 正則半群
• 弱い逆行列