基本的な理想

数学、特に可換代数において、可換環Aの真イデアル Qは、xy がQの元であるときはいつでも、n > 0 であるxまたはy ⁿもQの元である場合に、一次イデアルであるといわれます。 たとえば、整数環Zにおいて、 p が素数である場合、 ( p ⁿ ) は一次イデアルです。

可換環論では、素イデアルの概念が重要である。なぜなら、ネーター環のあらゆるイデアルは素分解を持つ、つまり有限個の素イデアルの交わりとして書くことができるからである。この結果はラスカー・ネーターの定理として知られている。したがって、^{[1]ネーター環の}既約イデアルは素イデアルである。

主イデアルを非可換環に一般化する方法は様々存在するが^[2]、このテーマは可換環について最もよく研​​究されている。したがって、この記事の環は恒等環を持つ可換環であると仮定する。

• この定義は、より対称的な方法で言い換えることができます。つまり、 のときはいつでも、またはまたは が成り立つ場合、適切なイデアルは一次です。(ここでは の根号を表します。)${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$
• Rの真イデアルQが素数となるのは、R / Qのすべての零因子が冪零である場合に限ります。(これを素イデアルの場合と比較してください。素数の場合、Pが素数となるのは、R / Pのすべての零因子が実際にゼロである場合に限ります。)
• 任意の素イデアルは素イデアルであり、さらに、イデアルが素イデアルとなるのは、素イデアルであり半素である場合のみです(可換な場合は根基イデアルとも呼ばれます)。
• あらゆる基本的な理想は原始的なものである。^[3]
• Q が素イデアルである場合、 Qの根基は必然的に素イデアルPとなり、このイデアルはQの付随素イデアルと呼ばれます。この状況では、Q はP 素イデアルであると言われます。
  • 一方、根号が素数であるイデアルは必ずしも素数であるとは限りません。たとえば、、、の場合、は素数で ですが、すべてのn > 0 に対して、、、であり、したがって は素数ではありません。 の素数分解はです。ここでは-素数であり、 は -素数です。 ${\displaystyle R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle ({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$${\displaystyle ({\overline {x}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})}$
    • しかし、根号が最大である理想は主要なものである。
    • 根号Pを持つすべてのイデアル Q は、最小のP主イデアルに含まれます。つまり、ある x ∉ P に対して ax ∈ Q となるすべての元aです 。P  nを含む 最小 のP主イデアル^は、Pのn番目の記号冪と呼ばれます。
• P が最大素イデアルである場合、 Pの冪を含む任意のイデアルはP主です。すべてのP主イデアルがPの冪である必要はありませんが、少なくとも P の冪を含みます。たとえば、イデアル ( x ,  y ² ) は、環k [ x ,  y ] のイデアルP  = ( x ,  y ) に対してP主ですが、 Pの冪ではありませんが、 P² を含みます。
• Aがネーター環でPが素イデアルならば、 AからPにおけるAの局所化への写像である核は、すべてのP素イデアルの共通部分となる。 ^[4]${\displaystyle A\to A_{P}}$
• -一次イデアルの有限で空でない積は-一次であるが、 -一次イデアルの無限積は-一次ではない可能性がある。なぜなら、たとえば、それぞれが -一次である最大イデアル を持つノイデンシャル局所環(クルル交差定理 ) では、たとえば、局所環の最大 (したがって素数で、したがって一次) イデアルの無限積は零イデアルを生成するが、この場合は零イデアルは一次ではない (零因子が冪零でないため)。実際、ノイデンシャル環では、となるような整数が存在する場合のみ、-一次イデアルの空でない積は-一次である。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle m=\langle x,y\rangle }$${\displaystyle K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle }$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}}$

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、ウェストビュー・プレス、p. 50、ISBN 978-0-201-40751-8
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• 原始的理想について、ラディスラス・フックス
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• 数学百科事典における主要な理想