準地域リング

数学において、半局所環とは、R /J( R ) が半単純環となるような環のことである。ここで、J( R ) はRのヤコブソン根基である。( Lam 2001 、p. §20) ( Mikhalev & Pilz 2002 、p. C.7)  

上記の定義は、R が有限個の極大右イデアル（および有限個の極大左イデアル）を持つ場合に満たされます。R が可換環の場合、逆の含意も成り立つため、可換環の半局所性の定義はしばしば「有限個の極大イデアルを持つこと」と解釈されます。

文献によっては、一般に可換半局所環を 準半局所環と呼ぶものがあり、半局所環は有限個の極大イデアルを持つネーター環を指すのに用いられる。

したがって、半局所環は、極大イデアル（右/左/両側）を1つしか持たない局所環よりも一般的である。

• 右または左アルティン環、任意の直列環、および任意の半完全環は半局所的である。
• 商${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$は半局所環である。特に、${\displaystyle m}$主要な力であるならば、${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ローカルリングです。
• 有限個の体の直和${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}}$これは準局所環である。
• 単位元を持つ可換環の場合、この例は次の意味で典型的です。中国剰余定理は、単位元と最大イデアルm ₁ , ..., m _nを持つ半局所可換環Rに対して、次のことを示しています。

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$。

（この写像は自然投影です。）右辺は体の直和です。ここで、∩ _i m _i =J( R ) であることに注意すると、R /J( R ) は確かに半単純環であることがわかります。

• 任意の可換ネーター環の古典的な商環は半局所環である。
• アルティン加群の自己準同型環は半局所環である。
• 半局所環は、例えば代数幾何学において、（可換）環Rが乗法的に閉じた部分集合S = ∩ (R \ p _i )に関して局所化される場合に現れる。ここでp _iは有限個の素イデアルである。