モジュールの長さ

代数学において、環上のモジュールの長さは、ベクトル空間の大きさを測る次元の一般化です。 ^{[1] 153ページこれは、}サブモジュールの最長チェーンの長さとして定義されます。ベクトル空間（体上のモジュール）の場合、長さは次元に等しくなります。が体上の代数である場合、モジュールの長さは、-ベクトル空間としてのその次元以下になります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

可換代数と代数幾何学では、ノイザン可換環上の加群は、加群のクルル次元が 0 の場合にのみ有限長を持つことができます。有限長の加群は有限生成加群ですが、ほとんどの有限生成加群は無限長です。有限長の加群はアルティン加群と呼ばれ、アルティン環の理論の基礎となります。 ${\displaystyle R}$

アフィン空間または射影空間内の代数多様体の次数は、多様体と補完次元の一般的な線形部分空間との 0 次元交差の座標環の長さです。より一般的には、複数の多様体の交差多重度は、0 次元交差の座標環の長さとして定義されます。

をある環上の（左または右の）加群とする。の サブ加群の連鎖が${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

は鎖の長さであると言う。 ^[1]の長さは、その鎖のうち最大の長さである。そのような最大の長さが存在しない場合は、 は無限長 を持つと言う。明らかに、鎖の長さがモジュールの長さに等しい場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{0}=0}$${\displaystyle M_{n}=M.}$

環の長さは、イデアルの最長連鎖の長さ、つまり、左乗法によってそれ自体の加群として考えられた の長さです。対照的に、のクルル次元は、素イデアルの最長連鎖の長さです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

-モジュールの長さが有限であれば、それは有限生成である。^[2] Rが体であれば、その逆も真である。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

-加群が有限長を持つのは、それがノイザン加群かつアルティン加群である場合に限る^[1] (ホプキンスの定理を参照)。すべてのアルティン環はノイザンなので、環が有限長を持つのはアルティンである場合に限ることを意味する。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

が -加群の短完全列であるとする。このとき、M が有限長であることと、LとNが有限長であることは同値であり、特に、次の 2 つの性質が成り立つ。 $${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\text{長さ}}_{R}(M)={\text{長さ}}_{R}(L)+{\text{長さ}}_{R}(N)}$$

• 有限長の2つのモジュールの直和は有限長である
• 有限長のモジュールのサブモジュールは有限長であり、その長さは親モジュールの長さ以下になります。

モジュールMの合成系列は、次の形式の連鎖である。

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

そのような

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ は }}i=0,\dots ,n-1 に対して単純である}$

モジュールM が有限の長さを持つのは、それが（有限の）合成シリーズを持ち、そのような合成シリーズの長さがすべてMの長さに等しい場合のみです。

体上の任意の有限次元ベクトル空間は有限の長さを持ちます。基底が与えられると、長さ のチェーンが存在します。任意のチェーンが与えられると、各包含の次元が少なくとも だけ増加するため、これは最大です。したがって、その長さと次元は一致します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$$${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$${\displaystyle 1}$

基底環上では、アルティン加群は有限加群の例のクラスを形成します。実際、これらの例は交差理論における消失の順序を定義するための基本的なツールとして機能します。^[3]${\displaystyle R}$

ゼロモジュールは長さが 0 の唯一のモジュールです。

長さ 1 のモジュールは、まさに単純モジュールです。

巡回群 の長さ（整数Z上のモジュールとして見る）は、の素因数の数に等しく、複数の素因数は複数回カウントされます。これは、 のサブモジュールがの正の約数と 1 対 1 に対応しているという事実から得られます。この対応は、 が主イデアル環であるという事実から生じます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

交差理論の必要性から、ジャン＝ピエール・セールは、点の重複度という一般的な概念を、この点に関連する アルティン局所環の長さとして導入しました。

最初の応用は、交差重複度の完全な定義であり、特に、n次元射影空間におけるn個の代数超曲面の交差点の重複度の合計が無限大であるか、超曲面の次数の積とまったく同じであることを主張するベズーの定理の記述である。

この重複度の定義は非常に一般的であり、代数的重複度のこれまでのほとんどの概念を特殊なケースとして含んでいます。

重複度のこの一般的な定義の特殊なケースは、代数多様体上の非ゼロ代数関数の消失の順序である。代数多様体と余次元1の部分多様体^[3]が与えられたとき、多項式の消失の順序は^[4]のように定義される。ここで、は部分多様体に沿ったの茎によって定義される局所環^{[3]の426-227ページ}、またはそれと同値として、の一般点^{[5]の22ページ}におけるの茎である。がアフィン多様体であり、 が消失軌跡 によって定義されている場合、同型が成り立つ。この考え方は、多様体上の有理関数に拡張することができ、ここで順序は^{[3]のように定義され、これは}複素解析における零点と極の順序の定義に似ている。 ${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle f\in R(X)}$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V(f)}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$ ${\displaystyle F=f/g}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$

例えば、多項式 で定義される射影面 を考えると、有理関数の消失の順序は で与えられます。ここで、およびの場合、は局所環の単位であるためです。他のケースでは、は単位であるため、商モジュールは と同型であり、長さ を持ちます。これは、最大固有シーケンスを使用して見つけることができます。${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)}$$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$$${\displaystyle h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}}$${\displaystyle f=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})}$$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle (0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

消失の位数は、複素解析における有理型関数の零点と極の位数を一般化したものである。例えば、関数はに位数 2 と 1 の零点を持ち、に位数 の極を持つ。この種の情報は、加群の長さを使用して符号化することができる。例えば、およびを設定すると、関連付けられた局所環は であり、商加群が存在する。 は単位元であるため、これは商加群と同型である点に留意されたい。その長さは、部分加群の最大連鎖が存在するためである。^{[6]より一般的には、}ワイエルシュトラスの因数分解定理を使用すると、有理型関数は として因数分解され、これは分子と分母の両方で線型多項式の（おそらく無限の）積である。 $${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}}$$${\displaystyle 1,2\in \mathbb {C} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4i\in \mathbb {C} }$${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$${\displaystyle V=V(z-1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}}$$${\displaystyle z-4i}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle (0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}}$$$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

• ヒルベルト・ポアンカレ級数
• ヴェイユ因子
• チャウリング
• 交差理論
• ワイエルシュトラスの因数分解定理
• セールの多重度予想
• ヒルベルトスキーム-固定長のスキーム上のモジュールを研究するために使用できます。
• クルル・シュミットの定理

• スティーブン・H・ウェイントラブ『有限群の表現論』 AMS（2003）ISBN 0-8218-3222-0、ISBN 978-0-8218-3222-6  
• Allen Altman、Steven Kleiman、「可換代数の項」。
• スタックスプロジェクト。長さ